Τροχιές πάνω σε διάφορες επιφάνειες

Τα πρώτα δευτερόλεπτα της κίνησης,υπό τη δύναμη της βαρύτητας,ενός σώματος δεσμευμένου πάνω σε διάφορες επιφάνειες,για διάφορες αρχικές συνθήκες

1)Κίνηση πάνω στην επιφάνεια μιας σφαίρας με αρχικό για διάφορες τιμές του






2)Κίνηση πάνω στην επιφάνεια ελλειψοειδούς με με αρχικό για διάφορες τιμές του








3)Κίνηση πάνω στην επιφάνεια ενός κώνου.Εδώ ο λόγος που έβαλα είναι παραπλανητικός,μπήκε από λάθος!Τελικά έβαλα μόνο το να μεταβάλλεται (που ίσως θα έπρεπε να το ονομάσω ,καταλαβαίνετε,είναι η ταχύτητα στην διεύθυνση των συντεταγμένων γραμμών που σχηματίζει η τομή του κώνου με επίπεδο παράλληλο στη βάση του) για μια σταθερή τιμή του .




Προσέξτε κάτι σαν ανάκλαση που συμβαίνει στην αρχή.Δηλαδή ακόμη και για πολύ μικρές ταχύτητες το σωματίδιο δεν θα πάει την κορυφή του κώνου αλλά θα φθάσει μέχρι ένα σημείο και θα ξαναπάει πάνω.Καταρχάς η γενικευμένη ορμή διατηρείται.Αν δουλέψετε το σύστημα θα δείτε στη Χαμιλτονιανή ο όρος του που,επειδή το διατηρείται λειτουργεί ως υποθετικό δυναμικό,εμφανίζει ένα μέγεθος στον παρονομαστή που απειρίζεται στην κορυφή.Δηλαδή είναι σαν να πέφτει σε ένα τοίχος δυναμικού του σωματίδιο και μόνο αν έχει αρχικά θα πάει στην κορυφή.(ή αν χάνει ενέργεια λόγω τριβών φυσικά)






4)Και κίνηση πάνω στην επιφάνεια ενός τόρου.Ξανά εκ παραδρομής μπήκε λόγος ταχυτήτων,μόνο το αλλάζει.