Ακτινοβολία Cherenkov

2013-04-07 01:19

Όπως γνωρίζουμε από τον ηλεκτρομαγνητισμό ένα φορτίο που κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στο κενό δεν εκπέμπει Η/Μ ακτινοβολία.Ωστόσο όταν ένα τέτοιο φορτίο κινείται μέσα σε ένα διηλεκτρικό,τότε διαταράσσει το τοπικό πεδίο του διηλεκτρικού και όταν η ταχύτητά του ξεπεράσει την ταχύτητα φάσεως του φωτός μέσα στο μέσον αυτό,μπορεί κανείς να παρατηρήσει Η/Μ ακτινοβολία σε γωνία $\theta_c$ μεταξύ της διεύθυνσης της ταχύτητας του φορτίου και του διανύσματος θέσης του παρατηρητή ως προς το σημείο του φορτίου τη στιγμή της εκπομπής,τέτοια ώστε:

$\displaystyle cos \theta_c =\frac{c}{n u}$

όπου η ταχύτητα του φωτός στο κενό, ο δείκτης διάθλασης του μέσου και η ταχύτητα του φορτίου μέσα στο διηλεκτρικό.Μολονότι κβαντικό στη φύση του το φαινόμενο αυτό,αφού ουσιαστικά ο μηχανισμός του αφορά στην διέγερση από το διερχόμενο φορτίο,των μορίων του διηλεκτρικού και την εκπομπή Η/Μ κυμάτων συμβαλλόμενων καταστροφικά για $u<\frac{c}{n}$ και θετικά για $u>\frac{c}{n}$ κατά την αποδιέγερση τους,μπορεί να μελετηθεί καταρχήν και με την κλασική ηλεκτροδυναμική και να καταλήξει κανείς στη σχέση Frank-Tamm που μας δίνει την εκπεμπόμενη ενέργεια ανά μονάδα συχνότητας και μήκους (μήκους κίνησης του φορτίου μέσα στο διηλεκτρικό)

Έστω λοιπόν ένα διηλεκτρικό μέσον με ηλεκτρική διαπερατότητα $\epsilon>\epsilon_0$ και μαγνητική διαπερατότητα $\mu_0$ .Τότε η ταχύτητα φάσεως του φωτός στο μέσον αυτό είναι:

$\displaystyle u_{\phi}=\frac{c}{n}=\frac{1}{\epsilon\mu_0}<c$

μικρότερη δηλαδή της ταχύτητας φάσεως του φωτός στο κενό.Συνεπώς ένα σωματίδιο μπορεί καταρχήν να ξεπεράσει αυτήν την ταχύτητα κινούμενο μέσα σε αυτό το μέσον.Ένα τέτοιο σωματίδιο,υψηλής ενέργειας είναι η αλήθεια,μπορεί να προέλθει από διάφορες διεργασίες της Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων.
Όπως γνωρίζουμε από τον Ηλεκτρομαγνητισμό,η γενική λύση των εξισώσεων Maxwell για σημειακό φορτίο στο κενό,δίδεται από τα δυναμικά Lienard-Wiechert:

$\displaystyle\phi(t,\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|-\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime)\mathbf{u}}{c}}$ (1)

$\displaystyle\mathbf{A}(t,\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2}\frac{q\mathbf{u}}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|-\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime)\mathbf{u}}{c}}$ (2)

Τα πεδία αυτά ως γνωστόν ανιχνεύονται στο σημείο $\mathbf{x}$ τη χρονική στιγμή ,ενώ έχουν δημιουργηθεί στο σημείο $\mathbf{x}^\prime$ τη χρονική στιγμή $t^\prime$ .

Από τη στιγμή που γνωρίζουμε τις λύσεις αυτές για το κενό δε χρειάζεται να επαναλάβουμε την διαδικασία εξαγωγής τους για ένα διηλεκτρικό.Αρκεί να παρατηρήσεις πως οι λύσεις των εξισώσεων Maxwell για ένα διηλεκτρικό εξάγονται από τις (1) και (2) αν κάνεις την αντικατάσταση
$c\rightarrow \frac{c}{n}$ ,δηλαδή αν αλλάξεις την ταχύτητα του φωτός στο κενό με την ταχύτητα του φωτός στο μέσον αυτό (στον δείκτη διάθλασης συμπεριλαμβάνονται όλες οι ηλεκτρικές ιδιότητες του μέσου).Έτσι λοιπόν για την κίνηση ενός σημειακού φορτίου μέσα σε διηλεκτρικό τα δυναμικά Lienard-Wiechert είναι:

$\displaystyle\phi(t,\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{||\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|-n\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime)\mathbf{u}}{c}|}$

$\displaystyle\mathbf{A}(t,\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2}\frac{q\mathbf{u}}{||\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|-n\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime)\mathbf{u}}{c}|}$

όπου βάλαμε απόλυτη τιμή στον παρονομαστή ακριβώς διότι εδώ μπορεί να είναι $\frac{u}{c}\geq\frac{1}{n}$ δηλαδή η ταχύτητα του φορτίου να είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα φάσης του φωτός στο μέσον αυτό.Σε αυτἠν τη περίπτωση ο παρονομαστής γίνεται αρνητικός.Τώρα,προσέξτε ότι ο παρονομαστής του διανυσματικού δυναμικού μηδενίζεται όταν:

$\displaystyle |\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|-n\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime)\mathbf{u}}{c}=0$
Δηλαδή όταν:

$\displaystyle |\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|=n\frac{|\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime| u cos\theta_c}{c}$
όπου $\theta_c$ η γωνία μεταξύ του διανύσματος $\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime$ και του διανύσματος της ταχύτητας του φορτίου $\mathbf{u}$

Από την τελευταία σχέση έχουμε

$\displaystyle cos \theta_c =\frac{c}{n u}$
Η διαφορά $t-t^\prime$ μεταξύ της χρονικής στιγμής t της μέτρησης των πεδίων και $t^\prime$ της εκπομπής ( $t^\prime$ είναι ο επιβραδυμένος χρόνος) είναι:

$\displaystyle t-t^\prime=\frac{|\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|n}{c}$
και σε αυτό το χρονικό διάστημα το φορτίο διένυσε απόσταση:

$\displaystyle l=u (t-t^\prime)$

στη διεύθυνση του διανύσματος $\mathbf{u}$

Στη κατεύθυνση που ορίζει η γωνία $\theta_c$ και στη θέση $\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime$ τα δυναμικά έχουν σημείο ανωμαλίας.Στο μεταξύ,από την εκπομπή τους μέχρι εκείνο το σημείο διαδίδονται σε σφαίρες με ακτίνα $|\mathbf{x(t)}-\mathbf{x(t^\prime)}^\prime|$ και με κέντρο φυσικά την παρελθούσα θέση του φορτίου $\mathbf{x(t^\prime)}^\prime$ που αντιστοιχεί στο κάθε σφαιρικό κύμα.Στο σημείο όπου τα δυναμικά έχουν σημείο ανωμαλίας οι σφαίρες είναι εφαπτόμενες σε έναν κώνο με άξονα τη διεύθυνση της ταχύτητας του φορτίου,κορυφή την θέση του φορτίου και γωνία $sin\alpha_c=cos\theta_c=\frac{c}{n u}$ όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Αν επιλέξουμε τον άξονα ως άξονα κίνησης του φορτίου (δηλαδή παράλληλο με την ταχύτητα $\mathbf{u}$ του φορτίου) τότε μπορούμε να περιγράψουμε την κίνηση του φορτίου ως μια πυκνότητα ρεύματος:

$\displaystyle\mathbf{j}=q\mathbf{u}\delta(\mathbf{x}-\mathbf{u}t)=q u \delta(x-u t)\delta(y)\delta(z)\hat{x}_1$

ο μετασχηματισμός Fourier της πυκνότητας ρεύματος είναι:

$\mathbf{j}_{\omega}=\frac{q}{2\pi}e^{\frac{i\omega x}{u}}\delta(y)\delta(z)\hat{x}_1$

Παράθεση:

Υπολογισμός της ενέργειας:

Τώρα,η ολική ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που διαδίδεται ανά μονάδα επιφάνειας δίδεται από το χρονικό ολοκλήρωμα του διανύσματος Poynting:

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\mathbf{S}(t) dt=\int_{-\infty}^{\infty} dt (\mathbf{E}\times\mathbf{H})$

$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\int_{-\infty}^{\infty}d\omega^\prime\int_{-\infty}^{\infty}dt(\mathbf{E}_{\omega}\times\mathbf{H}_{\omega^\prime})e^{-i(\omega+\omega^\prime)t}$
όπου μετασχηματίσαμε κατά Fourier το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο.Επειδή ισχύει:

$\int_{-\infty}^{\infty}dt e^{-i(\omega+\omega^\prime)t}=2\pi\delta(\omega+\omega^\prime)$
το χρονικό ολοκλήρωμα του διανύσματος Poynting γίνεται:

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\mathbf{S}(t) dt=\int_{-\infty}^{\infty} d\omega (\mathbf{E_{\omega}}\times\mathbf{H_{-\omega}})$

$\displaystyle =2\pi(\int_{0}^{\infty}d\omega(\mathbf{E}_{\omega}\times\mathbf{H}_{-\omega})+\int_{-\infty}^{0}d\omega (\mathbf{E}_{\omega}\times\mathbf{H}_{-\omega}))$

$\displaystyle=2\pi(\int_{0}^{\infty}d\omega(\mathbf{E}_{\omega}\times\mathbf{H}_{-\omega})-\int_{0}^{-\infty}d\omega (\mathbf{E}_{\omega}\times\mathbf{H}_{-\omega}))$

$\displaystyle=2\pi(\int_{0}^{\infty}d\omega(\mathbf{E}_{\omega}\times\mathbf{H}_{-\omega})+\int_{0}^{\infty}d\omega (\mathbf{E}_{-\omega}\times\mathbf{H}_{\omega}))$

$\displaystyle=\frac{2\pi}{\mu_0}\int_{0}^{\infty}d \omega (\mathbf{E}_{\omega}\times\mathbf{B}_{-\omega}+\mathbf{E}_{-\omega}\times\mathbf{B}_{\omega})$

$\displaystyle=\frac{2\pi}{\mu_0}\int_{0}^{\infty}d \omega (\mathbf{E}_{\omega}\times\mathbf{B}_{\omega}^{\star}+\mathbf{E}_{\omega}^{\star}\times\mathbf{B}_{\omega})$

Τώρα από τις γενικές λύσεις των εξισώσεων Maxwell στο κενό,για τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία θα χρησιμοποιήσουμε εκείνο το τμήμα των λύσεων που αναφέρεται σε μεταφορά ενέργειας (και ορμής) σε μεγάλες αποστάσεις,το λεγόμενο πεδίο ακτινοβολίας.Από τον ηλεκτρομαγνητισμό είναι γνωστό πως οι μετασχηματισμένες κατά Fourier λύσεις αυτές είναι:

$\displaystyle\mathbf{E_}_{\omega}^{rad}(\mathbf{x})=-i\frac{1}{4\pi\epsilon_0 c}\int_{V^\prime} d^3 x^\prime \frac{(\mathbf{j}_{\omega}(\mathbf{x})\times\mathbf{k})\times(\mathbf{x}-\mathbf{x^\prime})}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|^2}e^{i k|\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|}$

και

$\displaystyle\mathbf{B}_{\omega}^{rad}(\mathbf{x})= -i\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V^\prime}d^3 x^\prime\frac{\mathbf{j}_{\omega}(\mathbf{x}^\prime)\times\mathbf{k}}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|}e^{ik|\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|}$

Αν αντικαταστήσουμε αυτές τις εκφράσεις στο χρονικό ολοκλήρωμα του διανύσματος Poynting και ολοκληρώσουμε πάνω στην επιφάνεια

μιας σφαίρας που περιέχει τον όγκο $V^\prime$ τότε έχουμε για την ηλεκτρομαγνητική ενέργεια την έκφραση:

$\displaystyle U=\frac{1}{4\pi}\sqrt{\frac{m_0}{\epsilon_0}}\oint_{S} d^2 x\hat{n}\int_{0}^{\infty}d\omega \Big|\int_{V^\prime} d^3 x^\prime\frac{\mathbf{j}_{\omega}\times\mathbf{k}}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|}e^{ik|\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|}\Big|^2\hat{k}$

όπου $\hat{n}$ είναι το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα της επιφάνειας της σφαίρας

και $\hat{k}$ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα της ακτινοβολίας.

Προσεγγίσεις:Σε μεγάλες αποστάσεις από το σημείο της εκπομπής,για τις οποίες συζητούμε,μπορούμε να προσεγγίσουμε τον επιεπιφάνειο ολοκλήρωμα της προηγούμενης σχέσης ως εξής:Να θεωρήσουμε πως το κέντρο της σφαίρας $S,\mathbf{x}_0$ είναι πολύ κοντά στην παρελθούσα θέση του φορτίου $\mathbf{x}^\prime$ .Τότε τα διανύσματα $\hat{k}$ και $\hatn{n}$ είναι σχεδόν παράλληλα και μπορούμε να κάνουμε τις προσεγγίσεις:

$\displaystyle k|\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime|=\mathbf{k}(\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime)=$ $\mathbf{k}(\mathbf{x}-\mathbf{x_0})-\mathbf{k}(\mathbf{x}^\prime-\mathbf{x_0})\approx k|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|-\mathbf{k}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)$

και

$\displaystyle \frac{\hat{k} d\mathbf{S}}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|^2}=\frac{d^2 x}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|^2}\hat{k}\hat{n}\approx d\Omega$

Με τις προσεγγίσεις αυτές,και λαμβάνοντας υπόψιν πως $U=\int_{0}^{\infty}d\omega U_{\omega}$ η προηγούμενη έκφραση της

γίνεται:

$\displaystyle\frac{dU_{\omega}}{d\Omega}d\omega\approx\frac{1}{4\pi}\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}\Big|\int_{V^\prime}d^3 x^\prime(\mathbf{j}_{\omega}\times\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}(\mathbf{x}^\prime-\mathbf{x_0})}\Big|^2 d\omega$

Για την περίπτωση που εξετάζουμε τώρα όσον αφορά στην σχέση που βρήκαμε προηγουμένως για την ενέργεια μπορούμε να κάνουμε τις αντικαταστάσεις:

$\epsilon_0\rightarrow\epsilon=n^2\epsilon_0$

$k\rightarrow\frac{n\omega}{c}$

Έτσι η σχέση για την ολική ενέργεια γίνεται:

$\displaystyle U_{\omega} d\Omega\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_0 n c}\Big|\int_{V^\prime}d^3 x^\prime(\mathbf{j}_{\omega}\times\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}(\mathbf{x}-\mathbf{x_0})}\Big|^2 d\Omega$

$=\displaystyle\frac{q^2 n\omega^2}{16\pi^3\epsilon_0 c^3}\Big|\int_{-\infty}^{\infty}e^{i x^\prime(\frac{\omega}{u}-k cos\theta)}dx^\prime\Big|^2 sin^2\theta d\Omega$

όπου $\theta$ η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της κίνησης του φορτίου και του διανύσματος $\hat{k}$ .
Αν στο προηγούμενο ολοκλήρωμα περιορίσουμε την ολοκλήρωση σε ένα πεπερασμένο διάστημα κίνησης του φορτίου [-X,X] τότε το χωρικό ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί και είναι:

$\displaystyle U_{\omega} d\Omega=\frac{q^2 n\omega^2sin^2\theta}{4\pi^3\epsilon_0 c^3}\frac{sin^2\big((1-\frac{n u}{c}cos\theta)\frac{X\omega}{u}\big)}{\big((1-\frac{nu}{c}cos\theta)\frac{\omega}{u}\big)^2} d\Omega$

Η έκφραση αυτή,που είναι η ενέργεια ανά στερεά γωνία έχει μέγιστη τιμή στη γωνία $\theta_c$ .Στη γωνία όπου τα δυναμικά δηλαδή έχουν σημείο ανωμαλίας.Έτσι για να βρούμε την ολική ενέργεια πρέπει να ολοκληρώσουμε την παραπάνω σχέση αλλά η συνεισφορά της ολοκληρωτέας ποσότητας στο ολοκλήρωμα θα είναι μεγάλη για $\theta\approx \theta_c$ .Επομένως μπορούμε στο ημίτονο που πολλαπλασιάζει την παραπάνω έκφραση να θέσουμε $sin^2\theta\approx\sin^2\theta_c$ και να γράψουμε:

$\displaystyle U_{\omega}=2\pi\int_{0}^{\pi}U_{\omega}(\theta)sin\theta d\theta=2\pi\int_{-1}^{1}U_{\omega}(\xi)d\xi$

$\displaystyle\arppox \frac{q^2 n\omega^2sin^2\theta_c}{4\pi^3\epsilon_0 c^3} \int_{-1}^{1} \frac{sin^2\big((1+\frac{n u\xi}{c})\frac{X\omega}{u}\big)}{\big((1+\frac{nu\xi}{c})\frac{\omega}{u}\big)^2}d\xi$

Όπου κάναμε την αλλαγή μεταβλητής $\xi=-cos\theta$ .Η ολοκληρωτέα ποσότητα (της μορφής $\frac{sin^2 x}{x^2}$ ) έχει μέγιστο στο σημείο $\xi=-\frac{c}{n u}$ και είναι πολύ μικρή για τιμές διάφορες αυτής.Δηλαδή το μέγιστο της συνάρτησης στο σημείο αυτό είναι οξύ.Επομένως μπορούμε εδώ πάλι να επεκτείνουμε το διάστημα ολοκλήρωσης για $\xi\in(-\infty,\infty)$ ώστε να μπορέσουμε να υπολογίσουμε εύκολα το ολοκλήρωμα.Έτσι:

$\displaystyle sin^2\theta_c\int_{-1}^{1} \frac{sin^2\big((1+\frac{n u\xi}{c})\frac{X\omega}{u}\big)}{\big((1+\frac{nu\xi}{c})\frac{\omega}{u}\big)^2}d\xi$

$\displaystyle \approx (1-\frac{c^2}{n^2 u^2})\frac{c X}{\omega n}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sin^2 x}{x^2}dx=\frac{c X \pi}{\omega n}(1-\frac{c^2}{n^2u^2})$
αφού $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sin^2 x}{x^2} dx =\pi$

Αντικαθιστώντας στη σχέση για το $U_{\omega}$ φθάνουμε στη τελική σχέση:

$\displaystyle \frac{U_{\omega}d\omega}{2X}=\frac{q^2 \omega}{4\pi\epsilon_0 c^2}(1-\frac{c^2}{n(\omega)^2 u^2})d\omega$

Αυτή είναι η σχέση Frank-Tamm για την ενέργεια της ακτινοβολίας Cherenkov για ένα διάστημα συχνοτήτων ( $\omega,\omega+d\omega$ ) και ανά μονάδα μήκους.

Αυτή είναι η ενέργεια της ακτινοβολίας που εκλύεται όταν ένα φορτίο κινείται μέσα σε ένα διηλεκτρικό με $\frac{u}{c}>\frac{1}{n(\omega)}$ δηλαδή με ταχύτητα μεγαλύτερη της ταχύτητας φάσεως του φωτός στο μέσον αυτό.Προσέξτε ότι είναι ανάλογη της συχνότητας.Έτσι λοιπόν στο οπτικό φάσμα τη μεγαλύτερη ενέργεια θα έχει το μπλέ φως,όπως φαίνεται από την παρακάτω εικόνα της πισίνας ψύξης ενός πυρηνικού αντιδραστήρα.