Θεωρία BCS για την υπεραγωγιμότητα

2013-04-07 01:18

Η θεωρία αυτη για την υπεραγωγιμότητα οφείλεται στους J.Bardeen,L.N.Cooper και J.R.Scrhrieffer (BCS) και προτάθηκε το 1957 ως μια θεωρητική εξήγηση του φαινομένου της υπεραγωγιμότητας.Η βασική της ιδέα είναι ότι μια ελκτική αλληλεπίδραση μεταξύ των ηλεκτρονίων σε ένα σύστημα ηλεκτρονίων,μπορεί να οδηγήσει σε μια κβαντομηχανική κατάσταση συζευγμένων ηλεκτρονίων με ενέργεια μικρότερη από την βασική κατάσταση ενός συστήματος φερμιονίων.Αυτή η κατάσταση BSC είναι ευσταθής διότι τη χωρίζει ενεργειακά από την βασική κατάσταση του συστήματος ελαφρώς αλληλεπιδρώντων φερμιονίων,ένα ενεργειακό χάσμα.Εδώ θα εξετάσουμε από την πλευρά του κβαντομηχανικού φορμαλισμού της ,αυτή τη θεωρία.

Ο φορμαλισμός της θεωρίας

Η βασική κατάσταση της θεωρίας BCS έχει τη μορφή

$\displaystyle |BCS\rangle =\prod_{a>0}(u_a+v_a C_a^{\dag}C_{-a}^{\dag})|0\rangle$

όπου $C_a^{\dag}$ οι τελεστές δημιουργίας που ορίζονται από τις σχέσεις:

$\displasystyle C_a^{\dag}|0\rangle =|a\rangle\equiv|\phi_a\rangle$

$\displasystyle C_a^{\dag}|b\rangle =C_a^{\dag}C_b^{\dag}|0\rangle=|ab\rangle=-|ba\rangle$

Ο δείκτης αναφέρεται στους κβαντικούς αριθμούς που χαρακτηρίζουν την κατάσταση ενός ηλεκτρονίου $(\mathbf{k},\sigma)$ και αναφέρεται στην κατάσταση αντεστραμμένου χρόνου , $-a=(\mathbf{k},-\sigma)$ .Οι παράμετροι u_a και v_a είναι πραγματικές και πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle u_a^2+v_a^2=1$

ώστε να ικανοποιείται η κανονικοποίηση $\displaystyle\langle BCS|BCS\rangle=1$ .Οι τιμές των παραμέτρων αυτών θα καθοριστούν από την αρχή των μεταβολών που θα εφαρμοστεί στη συνέχεια στην χαμιλτονιανή του προβλήματος.Η κατάσταση BCS περιέχει ζεύγη ηλεκτρονίων αφού συσχετίζει τις καταστάσεις με τις .Παρόλαυτά ανάγεται στην κατάσταση Hartree-Fock (HF) για συστήματα φερμιονίων:

$\displasystyle |\Psi\rangle=C_1^{\dag}C_2^{\dag}\cdots C_{N}^{\dag}|0\rangle$

στο όριο u_a=0,v_a=1 για $k_a\leq k_F$ και u_a=1,v_a=0 για k_a>k_F .Θα αναφερόμαστε σε αυτήν την κατάσταση ως την τετριμμένη περίπτωση της $|BCS\rangle$ .
Το κριτήριο λοιπόν για την ύπαρξη της υπεραγωγιμότητας είναι κάποια μη τετριμμένη $|BCS\rangle$ να έχει μικρότερη ενέργεια από την κατάσταση HF.

Μετασχηματισμός Bogoliubov

Ο υπολογισμός της ενέργειας βασικής κατάστασης απλοποιείται σημαντικά εφαρμόζοντας τους μετασχηματισμούς Bogoliubov:

$\displasystyle b_a=u_a C_a-v_a C_{-a}^{\dag}$

$\displasystyle b_a^{\dag}=u_a C_a^{\dag}-v_a C_{-a}$

Για να είναι ο μετασχηματισμός αυτός κανονικός,πρέπει να ικανοποιεί τις μεταθετικές σχέσεις $[C_a,C_b]_{+}=0$ , $[C_a,C_b^{\dag}]_{+}=\delta_{ab}I$ .Έτσι έχουμε:

$\displaystyle [b_a,b_b^{\dag}]_{+}=u_a u_b [C_a,C_b^{\dag}]_{+}+v_a v_b [C_{-a}^{\dag},C_{-b}]_{+}$

$\displaystyle=(u_a u_b+v_a v_b)\delta_{ab}I=\delta_{ab} I$

$\displaystyle [b_a,b_b]_{+}=-v_a u_b [C_a,C_{-b}^{\dag}]_{+}-v_a u_b [C_{-a}^{\dag},C_{b}]_{+}$

$\displaystyle=-(u_a v_b+v_a u_b)\delta_{-ab}I$

Άρα για να είναι ο μετασχηματισμός κανονικός πρέπει $u_a v_{-a}=-u_{-a}v_a$ .Συνεπώς θα πρέπει:

$\displaystyle u_a=u_{-a},v_a=-v_{-a}$ .

Έτσι ο μετασχηματισμός Bogoliubov γράφεται

$\displaystyle b_a=u_a C_a-v_a C_{-a}^{\dag}$

$\displaystyle b_a^{\dag}=u_a C_a^{\dag}-v_a C_{-a}$

$\displaystyle b_{-a}=u_a C_{-a}-v_a C_{a}^{\dag}$

$\displaystyle b_{-a}^{\dag}=u_a C_{-a}^{\dag}-v_a C_{a}$

Αυτούς τους μετασχηματιμσούς μπορούμε να τους αντιληφθούμε ως τελεστές δημιουργίας και καταστροφής ενός είδους γραμμικού συνδυασμού σωματιδίου και οπής.Ενός είδους δηλαδή ημισωματιδίου το οποίο όμως στο όριο του HF καταρρέει ακριβώς,σε σωματίδιο ή οπή.Οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι:

$\displaystyle C_a=u_a b_a+v_a b_{-a}^{\dag}$

$\displaystyle C_a^{\dag}=u_a b_a^{\dag}+v_a b_{-a}$

$\displaystyle C_{-a}=u_a b_{-a}-v_a b_{a}^{\dag}$

$\displaystyle C_{-a}^{\dag}=u_a b_{-a}^{\dag}-v_a b_{a}$

Παράθεση:

Θεώρημα Wick

Πριν συνεχίσουμε στην ελαχιστοποίηση της ενέργειας θα πρέπει να αναφέρουμε αυτό το θεώρημα το οποίο είναι πολύ χρήσιμο όταν κάνουμε πράξεις με τελεστές δημιουργίας και καταστροφής.Θα ορίσουμε πρώτα δύο έννοιες:

Κανονικό γινόμενο ενός συνόλου τελεστών δημιουργίας και καταστροφής είναι το γινόμενο των τελεστών αναδιατεταγμένο έτσι ώστε όλοι οι τελεστές δημιουργίας να βρίσκονται στα αριστερά όλων των τελεστών καταστροφής,πολλαπλασιασμένο επι (-1)

για κάθε μετάθεση ζεύγους φερμιονικών τελεστών που χρειάζεται ώστε να γίνει η αναδιάταξη.Δηλαδή για παράδειγμα:

Μποζόνια $\displaystyle N: a_a a_a^{\dag}\rightarrow a_a^{\dag} a_a$

Φερμιόνια $\displaystyle N:C_a C_a^{\dag}\rightarrow -C_a^{\dag} C_a$

Συστολή ενός ζέυγους τελεστών ορίζουμε το θεμελιώδες στοιχείο πίνακα αυτού δηλαδή

$\displaystyle \langle A B\rangle_0=\langle 0|AB|0\rangle$

Είναι προφανές πως οι μόνες μη μηδενικές συστολές είναι οι

$\displaystyle \langle C_a C_a^{\dag}\rangle 0=\langle 0|C_a C_a^{\dag}\rangle\neq 0$

$\displaystyle \langle a_a a_a^{\dag}\rangle 0=\langle 0|a_a a_a^{\dag}\rangle\neq 0$

Τώρα εκείνο που λέει το θεώρημα Wick είναι ότι:

Ένα (σύνηθες) γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού τελεστών δημιουργίας και καταστροφής ισούται με το άθροισμα των κανονικών γινομένων από τα οποία $0,1,2,\dots$ συστολές έχουν αφαιρεθεί με όλους τους δυνατούς τρόπους.
Για παράδειγμα,για δύο τελεστές το θεώρημα λέει:

$\displaystyle AB=N(AB)+\langle AB\rangle_0$

N(AB)

είναι το κανονικό γινόμενο.

Τώρα,στο πρόβλημά μας,θα πάρουμε

1)Το κανονικό γινόμενο ως προς τους τελεστές δημιουργίας $b_a^{\dag}$ και καταστροφής b_a

2)τη συστολή δύο τελεστών ως προς την κατάσταση $|BCS\rangle$ ,δηλαδή:

$\displaystyle \langle X Y\rangle _{BCS}=\langle BCS|XY|BCS\rangle$

Έτσι για τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής των ηλεκτρονίων ως συναρτήσεις των $b_a^{\dag}$ και b_a μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού Bogoliubov έχουμε τις παρακάτω συστολές:

$\displaystyle \langle C_a C_b\rangle_{BCS}=-u_a v_a\delta_{ab}$

$\displaystyle \langle C_a^{\dag} C_b^{\dag}\rangle_{BCS}=u_a v_a\delta_{-ab}$

$\displaystyle \langle C_a C_b^{\dag}\rangle_{BCS}=-u_a^2\delta_{ab}$

$\displaystyle \langle C_a^{\dag} C_b\rangle_{BCS}=-v_a^2\delta_{ab}$

Από εδώ βλέπουμε και τη φυσική σημασία της παραμέτρου v_a καθώς ο αριθμός κατάληψης της θεμελιώδους κατάστασης $|BCS\rangle$ είναι $n_a\equiv\langle C_a^{\dag} C_a\rangle {BCS}=v_a^2$

Ελαχιστοποίηση της ενέργειας

Η χαμιλτονιανή του συστήματος αποδεικνύεται πως είναι:

$\displaystyle H=\sum_a\sum_b T_{ab}C_a^{\dag}C_b+\frac{1}{4}\sum_a\sum_{b}\sum_{c}\sum_{d}\langle ab|V|cd\rangle C_a^{\dag}C_b^{\dag}C_d C_c$

όπου $T_{ab}$ είναι το στοιχείο πίνακα της κινητικής ενέργειας +το εξωτερικό δυναμικό και $\langle ab|V|cd\rangle$ είναι το στοιχείο πίνακα της αλληλεπίδρασης μεταξύ αντισυμμετρικών καταστάσεων.Η μέση ενέργεια τώρα είναι $\langle BCS|H|BCS\rangle$ και μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια του θεωρήματος Wick καθώς η χαμιλτονιανή μπορεί να γραφεί με όρους κανονικών γινομένων και συστολών και μόνο οι πλήρως συνεσταλμένοι όροι θα συνεισφέρουν στην ενέργεια της βασικής κατάστασης.Χρησιμοποιώντας και τους όρους συστολής των τελεστών δημιουργίας και καταστροφής των ηλεκτρονίων που δείξαμε παραπάνω έχουμε:

$\displaystyle\langle BCS|H|BCS\rangle=\sum_a T_{aa}\langle C_a^{\dag} C_a\rangle_{BCS}$

$\displaystyle +\frac{1}{4}\sum_{a}\sum_{b}\langle ab|V|ab\rangle\langle C_a^{\dag}C_a\rangle_{BCS}\langle C_b^{\dag}C_b\rangle_{BCS}$

$\displaystyle+\frac{1}{4}\sum_{a}\sum_{b}\langle ab|V|ba\rangle\langle C_a^{\dag}C_a\rangle_{BCS}\langle C_b^{\dag}C_b\rangle_{BCS}$

$\displaystyle +\frac{1}{4}\sum_{a}\sum_{c}\langle a,-a|V|c,-c\rangle\langle C_a^{\dag}C_{-a}^{\dag}\rangle_{BCS}\langle C_{-c}C_c\rangle_{BCS}$

$\displaystyle =\sum_a T_{aa} v_a^2 +\frac{1}{2}\sum_a\sum_b \langle ab|V|ab\rangle v_a^2 v_b^2$

$\displaystyle+\frac{1}{4}\sum_a\sum_c\langle a,-a|V|c,-c\rangle u_a v_a u_c v_c$

Ο πρώτος και ο δεύτερος όρος της τελευταίας ισότητας είναι εκείνοι που στη τετριμμένη περίπτωση $|BCS\rangle$ γίνονται ταυτόσημοι με την ενέργεια της βασικής κατάστασης HF.Ο τελευταίος όρος ( ο οποίος μηδενίζεται στο όριο της τετριμμένης κατάστασης $|BCS\rangle$ ) αντιστοιχεί στην ενέργεια του ζεύγους ηλεκτρονίων BCS.
Τώρα,ο αριθμός των σωματιδίων στην κατάσταση $|BCS\rangle$ δεν είναι συγκεκριμένος αφού η κατάσταση περιέχει μια υπέρθεση όρων που μπορεί να περιέχουν έναν οποιονδήποτε αριθμό ζευγών ηλεκτρονίων.Η χρήση αυτής της κατάστασης $|BCS\rangle$ με τον μεταβαλλόμενο αριθμό σωματιδίων είναι ανάλογη με τη χρήση της γενικευμένης συνάρτησης επιμερισμού στη στατιστική μηχανική.Η ελαχιστοποίηση της ενέργειας $\langle H\rangle$ πρέπει να υπόκειται στη συνθήκη (στον δεσμό από μαθηματικής απόψεως) ότι ο μέσος αριθμός των ηλεκτρονίων $\langle N\rangle$ είναι σταθερός.Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με τη μέθοδο του πολλαπλασιαστή Lagrange όπου εδώ θα ελαχιστοποηθεί η έκφραση $\langle H-\mu N \rangle$ ,όπου το $\mu$ είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange και βεβαίως στη στατιστική φυσική αυτό παίζει το ρόλο του χημικού δυναμικού.Αν λάβουμε την παράμετρο v_a ως μεταβαλλόμενη (από τη σχέση u_a^2+v_a^2=1 ) και ως προς την οποία θα κάνουμε την ελαχιστοποίηση τότε:

$\displaystyle\frac{\partial \langle H-\mu N \rangle}{\partial v_a}=2 v_a(T_{aa}-\mu)+2 v_a\sum_b \langle a b|V|ab\rangle v_b^2$

$\displaystyle +\frac{1}{2}\sum_c \frac{\langle a,-a|V|c,-c\rangle u_c v_c (u_a^2-v_a^2)}{u_a}$

ο μηδενισμός αυτής της έκφρασης είναι η συνθήκη ελαχιστοποίησης.
Καταλαβαίνουμε τώρα τι σημαίνει η παραπάνω έκφραση αν εισάγουμε τα:

$\displaystyle \Delta_a=\frac{1}{2}\sum_c \langle a,-a|Vc,-c\rangle u_c v_c$

η οποία χαρακτηρίζει η ισχύ της σύζευξης των ζευγών ηλεκτρονίων που είναι και το θεμελιώδες χαρακτηριστικό της κατάστασης $|BCS\rangle$ ,και

$\displaystyle \epsilon_a=T_{aa}+\sum_{b}\langle a b|V|a b\rangle v_b^2$

που είναι το ανάλογο της ενέργειας της HF.
Έτσι λοιπόν η συνθήκη ελαχιστοποίησης γίνεται:

$\displaystyle 2 u_a v_a (\epsilon_a-\mu)-\Delta_a(u_a^2-v_a^2)=0$

και από αυτήν,και από την u_a^2+v_a^2=1 έχουμε τελικά για τις παραμέτρους αυτές:

$\displaystyle u_a^2=\frac{1}{2}\Big [1+\frac{\epsilon_a-\mu}{[(\epsilon_a-\mu)^2+\Delta_a^2]^{1/2}}\Big ]$

$\displaystyle v_a^2=\frac{1}{2}\Big [1-\frac{\epsilon_a-\mu}{[(\epsilon_a-\mu)^2+\Delta_a^2]^{1/2}}\Big ]$

Έτσι η ενέργεια της βασικής κατάστασης $|BCS\rangle$ γράφεται:

$\displaystyle E_0=\sum_a \frac{1}{2}(T_{aa}+\epsilon_a)v_a^2-\frac{1}{2}\sum_{a>0}\frac{\Delta_a^2}{[(\epsilon_a-\mu)^2+\Delta_a^2]^{1/2}}$

Έτσι αν η παράμετρος χάσματος $\Delta_a=0$ τότε η ενέργεια βασικής κατάστασης E_0 γίνεται ίση με την ενέργεια του συστήματος ασθενώς αλληλεπιδρώντων φερμιονίων HF.Αν όμως υπάρχει μη τετριμμένη λύση με $\Delta_a\neq 0$ τότε η κατάσταση $|BCS\rangle$ έχει μικρότερη ενέργεια από την HF και συνεπώς η κατάσταση ζευγών της $|BCS\rangle$ είναι εκείνη προς την οποία θα οδηγηθεί το σύστημα και αυτός είναι ο μηχανισμός που μετά εξηγεί σωστά την υπεραγωγιμότητα (στις χαμηλές θεμοκρασίες).

Βιβλιογραφία
Quantum Mechanics - A Modern Development.L Ballentine

—————

Πίσω

Προσομοιώσεις Φυσικής

Θεωρία BCS για την υπεραγωγιμότητα