Μέθοδος των συναρτήσεων Green

2014-01-10 10:16

Μια πολύ καλή μέθοδος επίλυσης γραμμικών,μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων είναι η μέθοδος των συναρτήσεων Green.Αυτή είναι και η βασική μέθοδος λύσης αυτών των εξισώσεων που χρησιμοποιείται στη Φυσική,ιδιαίτερα στον ηλεκτρομαγνητισμό και στη Κβαντομηχανική.Η βασική ιδέα είναι η εξής:Να γράψουμε την εν λόγω διαφορική εξίσωση στη μορφή:

$\displaystyle L \psi (x) =f(x)$ (1)

όπου $\psi(x)$ η λύση της διαφορικής εξίσωσης, f(x) το μη ομογενές μέρος της και ένας γραμμικός διαφορικής τελεστής στον οποίο συνοψίζεται η μορφή της διαφορικής εξίσωσης.Παράδειγμα:

$\displaystyle L=\frac{d^2}{dx^2}+k^2$

που δίνει την διαφορική εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή.Τώρα,θέλουμε με κατάλληλες οριακές συνθήκες να λύσουμε την (1).Η ιδέα είναι να βρούμε με τις ίδιες οριακές συνθήκες τη λύση της παρακάτω εξίσωσης:

$\displaystyle L G(x,x^{\prime})=\delta (x-x^{\prime})$ (2)

όπου $\delta(x-x^{\prime})$ είναι η “συνάρτηση” του Dirac και $G(x,x^{\prime})$ είναι η συνάρτηση Green.Τότε η λύση της (1) είναι:

$\displaystyle \psi(x)=\int_{-\infty}^{\infty}G(x,x^{\prime})f(x^{\prime})d x^{\prime}$

διότι:

$\displaystyle L\psi(x)=\int_{-\infty}^{\infty}L G(x,x^{\prime})f(x^{\prime})d x^{\prime}$

$\displaystyle = \int_ {-\infty}^{\infty}\delta(x-x^{\prime}) f(x^{\prime})=f(x)$

και πράγματι επαληθεύει την εξίσωση (1).

Η συνάρτηση Green τώρα που είναι λύση της (2) μπορεί να βρεθεί αν εφαρμόσουμε μετασχηματισμό Fourier στην (2) και την καταστήσουμε αλγεβρική εξίσωση.Τότε θα πάρουμε την μετασχηματισμένη Fourier της συνάρτησης Green:

$\displaystyle G(k,x^{\prime})=\frac{1}{ \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} G(x,x^{\prime}) e^{-i k x} dx$

και ο αντίστροφος μετασχηματισμός από όπου παίρνουμε την $G(x,x^{\prime})$ είναι:

$\displaystyle G(x,x^{\prime})=\frac{1}{ \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}G(k,x^{\prime}) e^{i k x} dk$

—————

Πίσω

Προσομοιώσεις Φυσικής

Μέθοδος των συναρτήσεων Green