Πώς προκύπτει ο περίφημος τύπος E=mc^2

2013-04-07 01:14

Προκύπτει από την μελέτη της κίνησης του ελεύθερου σωματιδίου και από την αρχή της αντιστοιχίας,πως δηλαδή σε μικρές ταχύτητες ως προς την ταχύτητα του φωτός ή σχετικιστική θεώρηση πρέπει να συμπίπτει με την Νευτώνεια.
Και λέμε λοιπόν,η σχετικιστική δράση στο ίδιο σύστημα του σωματιδίου,σε εκείνο το σύστημα,δηλαδή,ως προς το οποίο το σωματίδιο είναι ακίνητο είναι:

$\displaystyle S=\int_{\tau_1}^{\tau_2} \mathcal{E} d\tau$

όπου $\tau$ ο ίδιος χρόνος του σωματιδίου και $\mathcal{E}$ η ίδια ενέργεια του.Τώρα,μπορούμε να μεταφερθούμε σε ένα σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο το σωματίδιο κινείται με ταχύτητα

,ως εξής:Η ποσότητα

$\displaystyle ds^2=\eta _{\mu\nu}dx^{\mu} dx^{\nu}$

,όπου $\eta _{\mu\nu}=diag\{1,-1,-1,-1\}$ ο τανυστής Minkowski,είναι αναλλοίωτη κάτω από αλλαγές συστημάτων συντεταγμένων οπότε επειδή στο ίδιο σύστημα είναι $ds^2=c^2 d\tau^2$ θα έχουμε:

$\displaystyle c^2 d\tau^2=c^2 dt^2-dx^2-dy^2-dz^2\Rightarrow (\frac{d\tau}{dt})^2=1-\frac{dx^2+dy^2+dz^2}{c^2 dt^2}$

$\Rightarrow (\frac{d\tau}{dt})^2=1-\frac{u^2}{c^2}$

έτσι συσχετίζουμε τον ίδιο χρόνο $\tau$ με τον συντεταγμένο χρόνο

και έχουμε :

$\displaystyle d\tau=\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}} dt$

Έτσι η δράση είναι:

$\displaystyle S=\int_{t_1}^{t_2} \mathcal{E} \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}} dt$

Και συνεπώς η σχετικιστική Λαγκρανζιανή του ελευθέρου σωματιδίου:

$\displaystyle L_r =\mathcal{E} \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$

Ε,αυτή η Λάγκρανζιανή πρέπει για u << c

να συμπίπτει με την μη σχετικιστική Λαγκρανζιανή:

$\displaystyle L_{nr}=T-V=\frac{1}{2} m u^2+a$

όπου

το δυναμικό,το οποίο στη μη σχετικιστική δυναμική,για ένα ελεύθερο σωμάτιο το επιλέγουμε αυθαίρετα ίσο με

ενώ γενικά μπορεί να είναι μια σταθερά

,δεν αλλάζει την τελική εξίσωση κίνησης.Αλλά προσέξτε,όταν θα πάμε να κάνουμε την προσέγγιση Taylor u << c

στην σχετικιστική Λαγκρανζιανή θα βρούμε:

$\displaystyle f(u)=\mathcal{E} \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$

$\displaystyle f^{\prime}(u)=-\frac{\mathcal{E}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\frac{u}{c^2}$

$\displaystyle f^{\prime\prime}(u)=-\frac{\mathcal{E}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\frac{1}{c^2}+(\ldots)$

όπου ο όρος $(\ldots)$ έχει το

στον αριθμητή οποτε θα μηδενιστεί στην προσέγγιση Taylor (βαριόμουν να κάνω την παραγώγιση!

),άρα

$\displaystyle L_r\approx \mathcal{E}-\frac{\mathcal{E}}{2 c^2}u^2$

αν τη συγκρίνουμε με την μη σχετικιστική,με την οποία πρέπει να συμπίπτει: $L_{nr}=\frac{1}{2} m u^2+a$ βλέπουμε ότι αυτό το μη σχετικιστικά αυθαίρετο σταθερό δυναμικό

δεν μπορεί να είναι αυθαίρετο πια,και πρέπει αναγκαστικά να έχει την τιμή $a=\mathcal{E}=-mc^2$ .Τότε μόνο ικανοποιείται η αρχή της αντιστοιχίας.Άρα η σχετικιστική λαγκρανζιανή για μικρές ταχύτητες γίνεται:

$\displaystyle L_r=\frac{1}{2} mu^2- mc^2$

Η ολική ενέργεια,τώρα,υπολογίζεται από τη γνωστή σχέση:

$\displaystyle E=\sum_{i} \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-L$

που είναι και ο τύπος της χαμιλτονιανής (ουσιαστικά ένας μετασχηματισμός Legendre της Λαγκρανζιανής),όπου

οι αντίστοιχες γενικευμένες συντετεγμένες που εδώ είναι οι 3 συνιστώσες της ταχύτητας,άρα:

$\displaystyle E=\vec{u} \frac{\partial L}{\partial \vec{u}}-L=mu^2-\frac{1}{2} mu^2+mc^2\Rightarrow$
$\displaystyle\Rightarrow E=\frac{1}{2} mu^2+mc^2$

Αυτή είναι η ολική ενέργεια του σωματιδίου για μικρές ταχύτητες,από όπου συμπεραίνουμε πως,ω του θαύματος ,υπάρχει ενέργεια ακόμη και για u=0

και είναι

$\displaystyle E=mc^2$

—————

Πίσω

Προσομοιώσεις Φυσικής

Πώς προκύπτει ο περίφημος τύπος E=mc^2