Πώς προκύπτει ο περίφημος τύπος ΔΕΔt≥ħ/2

2013-04-07 01:23

Γενικά για την Κβαντομηχανική

Στην κβαντική μηχανική τα φυσικά μεγέθη αναπαρίστανται με ερμιτιανούς τελεστές ( $A=A^\dagger$ ) οι οποίοι δρουν πάνω σε διανύσματα ket $|\psi\rangle$ τα οποία ανήκουν σε ένα χώρο Hilbert και τα οποία μπορούν να περιγράψουν τις καταστάσεις του φυσικού συστήματος.Αυτοί οι τελεστές μπορούν και παίζουν αυτόν το ρόλο διότι ως ερμιτιανοί έχουν πραγματικές ιδιοτιμές και ένα πλήρες,και ορθοκανονικό σύνολο ιδιοσυναρτήσεων και το πρόβλημα των ιδιοτιμών του $A$ γράφεται:

$A|a\rangle =a|a\rangle$

Επειδή είναι πλήρες το σύνολο των ιδιοσυναρτήσεων κάθε κατάσταση του χώρου Hilbert μπορεί να αναπτυχθεί σε αυτή τη βάση:

$|a\rangle = \sum_{a}\langle a|\psi\rangle |a\rangle$

και η πειραματική διαδικασία,η μέτρηση,έχει ως αποτέλεσμα να μεταβαίνει το σύστημα στην ιδιοκατάσταση η οποία αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή του φυσικού μεγέθους που μετρήθηκε και αυτό γίνεται με μέση τιμή:

$\langle A\rangle =\frac{\langle\psi|A|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle} =\frac{\sum_{a}|\langle a|\psi\rangle|^2}{\sum_{a}|\langle a|\psi\rangle|^2}$

όπου γίνεται αντιληπτό πως το τετράγωνο του κανονικοποιημένου αυτού πλάτους $|\langle a|\psi\rangle|$ παίζει το ρόλο πιθανότητας μέτρησης της αντίστοιχης ιδιοτιμής.

Σχέση απροσδιοριστίας θέσης-ορμής

Τώρα,ας θεωρήσουμε δύο τελεστές,τους $A$ και $B$ .Σύμφωνα με την στατιστική θεώρηση που αναπτύξαμε προηγουμένως,η διασπορά τους θα είναι κλασικά:

$(\Delta A)^2=\langle\psi|(A-\langle A\rangle)^2|\psi\rangle=\langle(A-\langle A\rangle)^2\rangle$

και

$(\Delta B)^2=\langle\psi|(B-\langle B\rangle)^2|\psi\rangle=\langle(B-\langle B\rangle)^2\rangle$
απλοποιούμε τις εκφράσεις αυτές εισάγοντας δύο τελεστές $\mathcal{A}=(A-\langle A\rangle)$ και $\mathcal{B}=(B-\langle B\rangle)$
Χρησιμοποιώντας τώρα την ανισότητα Cauchy-Schwarz παίρνουμε για το γινόμενο των δύο διασπορών,συναρτήσει των δύο νέων τελεστών:

$(\Delta A)^2(\Delta B)^2=\langle\mathcal{A}^2\rangle\langle\mathcal{B}^2\rangle\geq|\langle\mathcal{A}\mathcal{B}\rangle|^2$
Το γινόμενο δύο τελεστών μπορεί να αναλυθεί σε έναν ισοβαρή γραμμικό συνδυασμό του μεταθέτη και του αντιμεταθέτη τους:

$\mathcal{A}\mathcal{B}=\frac{1}{2}\left[\mathcal{A},\mathcal{B}\right]+\frac{1}{2}\left\{\mathcal{A},\mathcal{B}\right\}$

και έτσι παίρνοντας τη μέση τιμή του,κατ'αυτόν τον τρόπο αναλυμένου,γινομένου,θα έχουμε για τα δύο κομμάτια του:
Για τον αντιμεταθέτη

$\langle\left\{\mathcal{A},\mathcal{B}\right\}\rangle=$

$\langle\mathcal{A}\mathcal{B}\rangle+\langle\mathcal{B}\mathcal{A}\rangle =$

$\langle\mathcal{A}\mathcal{B}\rangle+\langle(\mathcal{A}^{\dagger}\mathcal{B}^{\dagger})^{\dagger}\rangle =$

$\langle\mathcal{A}\mathcal{B}\rangle+\langle\mathcal{A}\mathcal{B}\rangle^{\star}=$

$2\Re (\langle\mathcal{A}\mathcal{B}\rangle)$

το προτελευταίο βήμα έγινε επειδή οι τελεστές $\mathcal{A}$ και $\mathcal{B}$ είναι ερμιτιανοί.(Προσοχή,το γινόμενό τους δεν είναι κατ'ανάγκη ερμιτιανό)
καθ ' όμοιο τρόπο,για τον μεταθέτη προκύπτει:
$\langle\left[\mathcal{A},\mathcal{B}\right]\rangle=2i\Im(\langle\mathcal{A}\mathcal{B}\rangle)$
Ο αντιμεταθέτης δηλαδή είναι το πραγματικό μέρος της μ.τ. του γινομένου και ο μεταθέτης το φανταστικό μέρος.
Τώρα,πέρα από τα παραπάνω,βλέπουμε ότι η μ.τ. του μεταθέτη των δύο τελεστών είναι συναρτήσει των αρχικών:
$\langle\left[\mathcal{A},\mathcal{B}\right]\rangle =$

$\langle(A-\langle A\rangle)(B-\langle B\rangle)\rangle-$

$\langle(B-\langle B\rangle)(A-\langle A\rangle)\rangle =$

$\langle AB-A\langle B\rangle-\langle A\rangle B+\langle A\rangle\langle B\rangle-$

$\langle BA\rangle-B\langle A\rangle-\langle B\rangle A+\langle B\rangle\langle A\rangle\rangle$

όπου χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της γραμμικότητας του τελεστή της πράξης (στη Στατιστική) της μέσης τιμής έχουμε:

$\langle\left[\mathcal{A},\mathcal{B}\right]\rangle =\langle AB\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle-$

$\langle A\rangle\langle B\rangle+\langle A\rangle\langle B\rangle-\langle BA\rangle+\langle A\rangle\langle B\rangle+$

$\langle A\rangle\langle B\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle =\langle AB\rangle -\langle BA\rangle$

δηλαδή
$\langle\left[\mathcal{A},\mathcal{B}\right]\rangle=\langle\left[A,B\right]\rangle$

Συνεπώς μπορούμε να συνδυάσουμε αυτό το αποτέλεσμα με το (πυθαγόρειο) γεγονός πως το μέτρο ενός μιγαδικού θα είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο του φανταστικού του μέρους και να γράψουμε την προηγούμενη ανισότητα για τις διασπορές ως:

$(\Delta A)^2(\Delta B)^2\geq|\langle\mathcal{A}\mathcal{B}\rangle|^2\geq\frac{1}{4}|\langle\left[A,B\right]\rangle|^2$

και εδώ κάνουμε μια στάση,έχοντας καταλήξει σε ένα γνωστό αποτέλεσμα,διότι αν στη θέση των τελεστών $A$ και $B$ βάλουμε τον τελεστή της θέσης x και τον τελεστή της ορμής $p$ ,ο μεταθέτης των οποίων είναι ως γνωστόν $\left[x,p\right]=i\hbar$ ,προκύπτει η γνωστή σχέση:

$(\Delta x)^2(\Delta p)^2\geq\frac{\hbar^2}{4}\Rightarrow (\Delta x)(\Delta p)\geq\frac{\hbar}{2}$

Εικόνα Schroedinger και Heisenberg

Στην συνηθισμένη προπτυχιακή Κβαντομηχανική συνήθως χρησιμοποιούμε την λεγόμενη περιγραφή SchroedingerΣε αυτό το σχήμα,οι καταστάσεις είναι χρονοεξαρτημένες και οι τελεστές που αναπαριστούν τα φυσικά μεγέθη είναι πλήρως ανεξάρτητοι του χρόνου.Σε αυτήν την περιγραφή,η βασική εξίσωση κίνησης είναι η γνωστή εξίσωση Schroedinger,στην οποία ο τελεστής Hamilton είναι απαλλαγμένος από χρονικές εξαρτήσεις και έτσι το πρόβλημα ανάγεται,πρώτον στη λύση της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schroedinger και εν συνεχεία στην υποβολή της λύσης στην δράση ενός μοναδιαίου τελεστή $U$ ( $UU^{\dagger})=I$ ),δράση η οποία διέπει την χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης.Έτσι σε αυτήν την περιγραφή,αν $|\psi_S(t_0)\rangle$ είναι η λύση της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης,αυτή θα είναι η κυματοσυνάρτηση στην αρχική χρονική στγμή $t_0$ ,και τότε η κυματοσυνάρτηση την τυχούσα στιγμή $t>t_0\quad |\psi_S(t)\rangle$ θα δίδεται από την σχέση:

$|\psi_S(t)\rangle=U(t,t_0)|\psi_S(t_0)\rangle$

αρκεί φυσικά να μην έχει υποβληθεί το σύστημα σε μέτρηση.Αν παρελπίδα έχει συμβεί κάτι τέτοιο αυτομάτως η κατάσταση καταρρέει στην ιδιοσυνάρτηση του τελεστή που αντιστοιχεί στο φυσικό μέγεθος που μετρήθηκε (εν παρόδω,να πω εδώ,πως αυτό είναι και το μεγάλο προβλημα με τους Κβαντικούς Υπολογιστές,αλλά αυτό είναι άλλη ιστορία).

Τώρα,αυτή δεν είναι η μόνη δυνατή εικόνα που μπορεί να περιγράψει την Κβαντομηχανική Πραγματικότητα.Μπορούν να υπάρξουν άπειρες άλλες ισοδύναμες περιγραφές,οι οποίες όμως πρέπει να πληρούν απαραιτήτως δύο κριτήρια

\item Οι νέοι τελεστές που αντιστοιχούν στα φυσικά μεγέθη να έχουν ίδιες ιδιοτιμές
\item τα εσωτερικά γινόμενα των νέων καταστάσεων να έχουν τις ίδιες τιμές με τα παλαιά

Και βέβαίως με το 2ο κριτήριο,ο μαθηματικά μυημένος αναγνώστης καταλαβαίνει πως μιλάμε για μια ισομετρία.Μια διαφορετική περιγραφή μπορεί να γίνει μόνο μέσα από μια ισομετρία,όπου ο τελεστής του θα επιτελέσει τον μετασχηματισμό θα είναι κάποιος μοναδιαίος τελεστής $TT^{\dagger}=I$ και έτσι οι νέες κυματοσυναρτήσεις θα είναι:

$|\psi^{\prime}\rangle=T\psi\rangle$

και οι νέοι τελεστές:

$A^{\prime}=T A T^{\dagger}$

Τότε πράγματι ισχύουν τα κριτήρια διότι η μοναδιακότητα του τελεστή μετασχηματίζει την αρχική εξίσωση ιδιοτιμών:

$A|a\rangle=a|a\rangle\Rightarrow T A|a\rangle=a T|a\rangle=a|a^{\prime}\rangle$

όμως είναι επίσης:

$T A|a\rangle=TAT^{\dagger}T|a\rangle=A^{\prime}|a^{\prime}\rangle$

άρα η νέα εξίσωση ιδιοτιμών είναι:

$A^{\prime}|a^{\prime}\rangle=a|a^{\prime}\rangle$

αυτό δηλαδή που θέλουμε!

Υπάρχει η λεγόμενη περιγραφή Heisenbergπου είναι,από τις άπειρες εναλλακτικές ισομετρίες,το εντελώς αντίθετο της περιγραφής Schroedinger.Δηλαδή,εδώ οι κυματοσυναρτήσεις είναι ανεξάρτητες του χρόνου,και όλη η χρονική εξέλιξη της πραγματικότητας πηγαίνει και επιφορτίζεται πάνω στους τελεστές.Και πηγαίνουμε σε αυτήν την περιγραφή,όπως είναι προφανές,από την περιγραφή Schroedinger χτυπώντας την χρονοεξαρτημένη κυματοσυνάρτηση $U(t,t_0)|\psi_S(t_0)\rangle$ με τον... αντίστροφο μοναδιαίο τελεστή $U^{-1}(t,t_0)=U^{\dagger}(t,t_0)$ και όλη η χρονική εξέλιξη των κυματοσυναρτήσεων παγώνει,μένουν ως είχαν $|\psi_S(t_0)\rangle$ και πηγαίνει στους χρονικά παγωμένους τελεστές της περιγραφής Schroedinger $A(t_0)$ που ξεπαγώνουν και εξελίσσονται πια ως $U^{\dagger}(t,t_0)A(t_0)U(t,t_0)$ .
Άρα,συνοψίζω,στην περιγραφή Heisenberg είναι οι κυματοσυναρτήσεις παγωμένες και οι τελεστές εξελίσσονται:

$|\psi_{H}(t)\rangle=|\psi_{H}(t_0)\rangle$

$Î�_Î�(t)=U^{\dagger}(t,t_0)A(t_0)U(t,t_0)$

Και εγείρεται το ερώτημα:Τι μορφή έχει σε αυτήν την περιγραφή η εξίσωση κίνησης;Δεν έχουμε παρά να παραγωγίσουμε χρονικά το δυναμικό μέγεθος που μεταβάλλεται δηλαδή τον τελεστή:

$\frac{d}{dt}A_H(t)=\frac{d}{dt}U^{\dagger}A_H(t_0)U+U^{\dagger}A_H(t_0)\frac{d}{dt}U$

επειδή όμως ο μοναδιαίος τελεστή της χρονικής εξέλιξης $U$ την αναπαράστασης Schroedinger είναι $U=e^{-i(t-t_0)H/\hbar}$ θα είναι:

$\frac{d}{dt}U=-\frac{i}{\hbar}H U=-\frac{i}{\hbar}UH$

διότι $\left[U,H\right]=0$

και

$\frac{d}{dt}U^{\dagger}=\frac{i}{\hbar}H U^{\dagger}$

συνεπώς τελικά:

$\frac{d}{dt}A_H=\frac{i}{\hbar}HU^{\dagger}A_H(t_0)U-\frac{i}{\hbar}U^{\dagger}A_H(t_0)UH=$
$\frac{i}{\hbar}\left[H,A_H(t)\right]$

και η εξίσωση κίνησης είναι:

$\frac{d}{dt}A_H=\frac{i}{\hbar}\left[H,A_H(t)\right]$

αυτή είναι η λεγόμενη εξίσωση Heisenberg,η αντίστοιχη της εξίσωσης Schroedinger στην αναπαράσταση Heisenberg.
Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των παγωμένων χρονικά κυματοσυναρτήσεων αυτής της αναπαράστασης,και την εξίσωση κίνησης που βγάλαμε,μπορούμε να υπολογίσουμε αμέσως την μέση τιμή της χρονικής παραγώγου του τελεστή:

$\langle\psi_H|\frac{d}{dt}A_H(t)|\psi_H\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle\psi_H|\left[H,A_H(t)\right]|\psi_H\rangle$

$\Rightarrow \frac{d}{dt}\langle A\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle\left[H,A\right]\rangle$

(η χρονική παράγωγος στην τελευταία σχέση βγαίνει έξω από το bra-ket της μ.τ. ακριβώς γιατί οι κυματοσυναρτήσεις είναι παγωμένες χρονικά σε αυτήν την αναπαράσταση).Αν χρησιμοποιήσουμε τη βασική σχέση απροσδιοριστίας την οποία αποδείξαμε στο 1ο μέρος για έναν τελεστή $A$ και για την Χαμιλτονιανή $H$ (της οποίας το αναπαριστούμενο φυσικό μέγεθος είναι η ενέργεια $E$ ) έχουμε $(\Delta A)(\Delta E)\geq\frac{1}{2}|\langle\left[A,H\right]\rangle|$ τότε αν αντικαταστήσουμε το δεύτερο μέρος με την σχέση της μ.τ. που αποδείξαμε προηγουμένως,η σχέση απροσδιοριστίας γίνεται:

$(\Delta A)(\Delta E)\geq\frac{\hbar}{2}|\frac{d}{dt}\langle A\rangle|\Rightarrow \frac{(\Delta A)}{|\frac{d}{dt}\langle A\rangle|}(\Delta E)\geq\frac{\hbar}{2}$

αυτό το $\frac{(\Delta A)}{|\frac{d}{dt}\langle A\rangle|}$ από κάθε άποψη είναι το χρονικό διάστημα $\tau_A$ μέσα στο οποίο η στατιστική κατανομή του τελεστή $A$ μεταβάλλεται κατά ( $\Delta A$ ).Δηλαδή αυτό το $\frac{d}{dt}\langle A\rangle$ είναι,θα λέγαμε,μιας μορφής ρυθμός μεταβολής του τελεστή $A$ .Ότι,μέσα σε αυτό το χρονικό διάστημα $\tau_A$ η κατανομή μεταβάλλεται κατά ( $\Delta A$ ).Δηλαδή πράγματι καταλήγουμε στο τελικό αποτέλεσμα:

$\Delta\tau_A\Delta E\geq\frac{\hbar}{2}$

Υ.Γ.1:Προσοχή!Το πολύ σημαντικό εδώ είναι πως,ναι μεν για χρόνους $|t-t_0|<\tau$ η κατανομή δεν μεταβάλλεται κατά καμία έννοια αλλά...για $|t-t_0|\geq\tau$ μεταβάλλεται...όσο μικρό κι αν είναι αυτό το $\tau$ .Και το αφήνω εδώ!
Υ.Γ.2:Ίσως συνεχίσω κάποια στιγμή από αυτό ακριβώς το σημείο που αφήνω λίγο αόριστο,για ένα ταξίδι...έξω από τον Κώνο Φωτός!!!!

—————

Πίσω

Προσομοιώσεις Φυσικής

Πώς προκύπτει ο περίφημος τύπος ΔΕΔt≥ħ/2