Σκέδαση Raman

2013-04-07 01:11

Σε αντίθεση με την σκέδαση Rayleigh όπου ένα φωτόνιο σκεδάζεται ελαστικά πάνω σε ένα άτομο ή μόριο και δεν μεταβάλλει το κυματάριθμό του και τη συχνότητά του,υπάρχει και η δυνατότητα της μη ελαστικής σκέδασης ενός φωτονίου πάνω σε κβαντικές καταστάσεις όπως λ.χ. οι διεγέργεις του κρυσταλλικού πλέγματος ενός στερεού,όπου τα φωτόνια μπορούν να σκεδαστούν με τα φωνόνια του στερεού και τα σκεδαζόμενα φωτόνια να έχουν διαφορετική συχνότητα από τα προσπίπτοντα φωτόνια.Αυτή είναι η σκέδαση Raman.Το 1930 το βραβείο Nobel Φυσικής απονεμήθηκε στον Ινδό Φυσικό C.V.Raman για την εργασία του πάνω στην σκέδαση του φωτός.
Σε αυτό το άρθρο θέλω να παρουσιάσω την κβαντομηχανική ερμηνεία της σκέδασης Raman.Υπάρχουν δύο τύποι σκέδασης Raman Η σκέδαση Stokes και η σκέδαση anti-Stokes.Στην σκέδαση Stokes η ενέργεια του σκεδαζόμενου φωτονίου είναι μικρότερη από την ενέργεια του προσπίπτοντος,υπάρχει δηλαδή απώλεια ενέργειας του φωτονίου και η ενέργεια αυτή έχει διεγείρει έναν δονητικό ή περιστροφικό βαθμό ελευθερίας του ατόμου και έτσι τα φωτόνια αυτά σχηματίζουν μια γραμμή Stokes στην ερυθρή πλευρά του φάσματος .Κβαντομηχανικά δηλαδή για το σύστημα πολλών μποζονίων {προσπίπτοντα φωτόνια+σκεδαζόμενα κατά Raman φωτόνια+φωνόνια} αν n_I είναι ο αριθμός των φωτονίων αρχικά , n_F ο αριθμός των φωτονίων που υπέστησαν τελικά σκέδαση Raman και $n_{\nu}$ ο αριθμός των φωνονίων τότε έχουμε τη μετάβαση:

$\displaystyle |n_I\rangle\otimes|n_F\rangle\otimes |n_{\nu}\rangle\rightarrow |n_I-1\rangle\otimes|n_F+1\rangle\otimes |n_{\nu}+1\rangle$

Στους κρυστάλλους λ.χ. μόνο ορισμένα φωνόνια είναι επιτρεπτά,εκείνα που αντιστοιχούν στους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης του κρυσταλλικού πλέγματος.
Η σκέδαση anti-Stokes αντιστοιχεί στην διέγερση ενός ατόμου που βρίσκεται ήδη σε μια διεγερμένη στάθμη δονητική ή περιστροφική και τη μετάβασή του,μετά,στη θεμελιώδη στάθμη οπότε το σκεδαζόμενο φωτόνιο κερδίζει την επιπρόσθετη ενέργεια και έτσι τα φωτόνια αυτά σχηματίζουν μια γραμμή anti-STokes στην ιώδη περιοχή του φάσματος.Κβαντομηχανικά δηλαδή έχουμε τη μετάβαση:

$\displaystyle |n_I\rangle\otimes|n_F\rangle\otimes |n_{\nu}\rangle\rightarrow |n_I-1\rangle\otimes|n_F+1\rangle\otimes |n_{\nu}-1\rangle$

Μη γραμμικότητα Raman

Γενικά σε ένα υλικό η πολωσιμότητα των μορίων του είναι συνάρτηση των θέσεων των πυρήνων και η διπολική ροπή μπορεί να αναπτυχθεί ως εξής:

$\displaystyle\mathbf{ p}_{\alpha}(\mathbf{u}^{(s)},\mathbf{E})=\mathbf{p}_{\alpha}^{0}(\mathbf{u}^{(s)})+\alpha_{\alpha\beta}(\mathbf{u}^{(s)})\mathbf{E}_{\beta}+\cdots$

όπου $\mathbf{u}^{(s)}$ είναι η μετατόπιση του πυρήνα από την πλεγματική θέση ισορροπίας του.Επίσης μπορούμε να αναπτύξουμε τους όρους $\mathbf{p}_{\alpha}^{0}(\mathbf{u}^{(s)})$ σε δυνάμεις αυτών των μετατοπίσεων:

$\displaystyle \mathbf{p}_{\alpha}^{0}(\mathbf{u}^{(s)})\approx\mathbf{p}_a^{(0)}+\sum_{s=1}^{N}\Big\[\frac{\partial}{\partial \mathbf{u}^{(s)}_{\beta}}\mathbf{p}^{(0)}_{\alpha}(\mathbf{u}^{(s)})\Big \]_0 \mathbf{u}^{(s)}_{\beta}+\cdots$

Επίσης

$\displaystyle\mathbf{p}^{(1)}_{\alpha}(\mathbf{u}^{(s)},\mathbf{E})$
$\displaystyle=\alpha_{\alpha\beta}(\mathbf{u}^{(s)})\mathbf{E}_{\beta}\approx \alpha_{\alpha\beta}^{(0)}\mathbf{E}_{\beta}+\sum_{s=1}^N \alpha_{\alpha\beta\gamma}^{(R)}\mathbf{E}_{\beta}\mathbf{u}^{(s)}_{\gamma}+\cdots$

ο δεύτερος αυτός όρος στο ανάπτυγμα της διπολικής ροπής είναι η μη γραμμικότητα Raman.Εκείνη η μη γραμμικότητα που όπως θα δείξουμε οδηγεί κβαντομηχανική στην ανελαστική σκέδαση των φωτονίων.
Τώρα,παρατηρούμε ότι το μέγεθος:

$e^{\star}_{\alpha\beta}(s)=\Big [\frac{\partial}{\partial \mathbf{u}^{(s)}_{\beta}}\mathbf{p}^{(0)}_{\alpha}(\mathbf{u}^{(s)})\Big ]_0$

που εμφανίζεται στο ανάπτυγμα του $\mathbf{p}_{\alpha}^{0}(\mathbf{u}^{(s)})$ έχει διαστάσεις φορτίου.Με το νέο σύμβολο $e^{\star}_{\alpha\beta}(s)$ για το μέγεθος αυτό ανάπτυγμα του $\mathbf{p}_{\alpha}^{0}(\mathbf{u}^{(s)})$ γράφεται:

$\displaystyle \mathbf{p}_{\alpha}^{0}(\mathbf{u}^{(s)})\approx\mathbf{p}_a^{(0)}+\sum_{s=1}^{N} e^{\star}_{\alpha\beta}(s) \mathbf{u}^{(s)}_{\beta}+\cdots$

Δηλάδη παίζει το ρόλο ενός τανυστή φορτίου.Επίσης οι μετατοπίσεις των πυρήνων θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των κανονικών τρόπων ταλάντωσης του πλέγματος του υλικού στο οποίο θα γίνει η σκέδαση,δηλαδή μπορούν να γραφούν στη μορφή:

$\displaystyle\mathbf{u}^{(s)}_{\beta}=\sum_{\nu =1}^{N}\Gamma(s,\nu)q(\nu)$

Έτσι μπορούμε να γράψουμε για τον όρο της μη γραμμικότητας Raman:

$\displaystyle \mathbf{p}_{\alpha}^{(R)}=\sum_{s=1}^N \alpha_{\alpha\beta\gamma}^{(R)}\mathbf{E}_{\beta}\mathbf{u}^{(s)}_{\gamma}=\sum_{\nu =1}^{N}\alpha_{\alpha\beta}^{(R)}(\nu)\mathbf{E}_{\beta}q(\nu)$

όπου

$\displaystyle\alpha^{(R)}_{\alpha\beta}(\nu)=\sum_{s=1}^{N}\alpha_{\alpha\beta\gamma}^{(R)}\Gamma_{\gamma}(s,\nu)$

Κβαντομηχανική Θεωρία της σκέδασης Raman

Όταν το φως διαδίδεται σε ένα τέτοιο υλικό,η μη γραμμικότητα Raman εισάγει μια αλληλεπίδραση μεταξύ του πεδίου των φωτονίων που περιγράφεται από την Χαμιλτονιανή πυκνότητα:

$\displaystyle\mathcal{H}_{rad}=\sum_{\mathbf{k},\sigma}\hbar\omega_{\mathbf{k}}(a_{\mathbf{k},\sigma}^{\dagger}a_{\mathbf{k},\sigma}+\frac{1}{2})$

και του πεδίου των φωνονίων που περιγράφεται από την Χαμιλτονιανή πυκνότητα:

$\displaystyle\mathcal{H}_{vib}=\sum_{\nu}\hbar\omega_{\bu}(b_{\nu}^{\dagger}b_{\nu}+\frac{1}{2})$

όπου $b_{\nu}^{\dagger}$ και $b_{\nu}$ οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής φωνονίων.
Τώρα,σύμφωνα με τα παραπάνω η Χαμιλτονιανή της αλληλεπίδρασης μπορεί να γραφεί ως:

$\displaystyle\mathcal{H}_{\inter}=-\frac{1}{2}\sum_{\nu =1}^{3 N}\alpha_{\alpha\beta}^{(R)}(\nu)\mathbf{E}_{\alpha}\mathbf{E}_{\beta} q(\nu)$

Είναι γνωστό πως για το πεδίο των κανονικών τρόπων ταλάντωσης ισχύει:

$\displaystyle q(\nu)=\big(\frac{\hbar}{2 M\omega_{\nu}}\big)^{\frac{1}{2}}(b_{\nu}^{\dagger}+b_{\nu})$

και από την κβάντωση του Ηλεκτρομαγνητικού Πεδίου είναι γνωστό πως:

$\displaystyle\mathbf{E}_{\alpha}=i\sum_{\mathbf{k},\sigma}\big(\frac{2\pi\hbar\omega_{\mathbf{k}}}{V}\big )^{\frac{1}{2}}\hat{e}_{\alpha}(\mathbf{k},\sigma)(a_{\mathbf{k},\sigma}-a^{\dagger}_{\mathbf{k},\sigma})$

Έτσι η ολική Χαμιλτονιανή της αλληλεπίδρασης θα γραφεί:

$\displaystyle\mathcal{H}_{\inter}=\frac{1}{2}\big(\frac{2\pi\hbar}{V})\sum_{\nu =1}^{3 N}\big (\frac{\hbar}{2 M\omega_{\nu}}\big)^{\frac{1}{2}}\alpha_{\alpha\beta}^{(R)}(\nu)(b_{\nu}^{\dagger}+b_{\nu})$
$\times\displaystyle \sum_{\mathbf{k},\sigma}\omega_{\mathbf{k}}^{\frac{1}{2}}\hat{e}_{\alpha}(\mathbf{k},\sigma)(a_{\mathbf{k},\sigma}-a^{\dagger}_{\mathbf{k},\sigma})\sum_{\mathbf{k}^{\prime},\sigma^{\prime}}\omega_{\mathbf{k}^{\prime}}^{\frac{1}{2}}\hat{e}_{\alpha}(\mathbf{k}^{\prime},\sigma^{\prime})(a_{\mathbf{k}^{\prime},\sigma^{\prime}}-a^{\dagger}_{\mathbf{k}^{\prime},\sigma^{\prime}})$

Από όλη αυτή τη Χαμιλτονιανή της αλληλεπίδρασης του πεδίου των φωτονίων με το πεδίο των φωνονίων,μας ενδιαφέρει ο όρος εκείνος που θα είναι ανάλογος του $a^{\dagger}_{\mathbf{k},\sigma^{\prime}}a_{\mathbf{k}^{\prime},\sigma^{\prime}}$ που ακριβώς περιγράφει την σκέδαση ενός φωτονίου από την αρχική κατάσταση $|I\rangle= |\mathbf{k}^{\prime},\sigma^{\prime}\rangle$ ,στην τελική κατάσταση $|F\rangle=|\mathbf{k},\sigma\rangle$

Κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι αυτός ο όρος είναι:

$\displaystyle\mathcal{H}_{scat}=\big (\frac{2\pi\hbar}{V}\big )\big (\frac{\hbar}{2 M \omega_{\nu}})^{\frac{1}{2}}(\omega_{I}\omega_F)^{\frac{1}{2}}\alpha^{(R)}(I,F,\nu) a^{\dagger}_F a_I (b^{\dagger}_{\nu}+b_{\nu})$

όπου $\alpha^{(R)}(I,F,\nu)=\alpha_{\alpha\beta}^{(R)}(\nu)\hat{e}_{\alpha}(I)\hat{e}_{\beta}(F)$

Χρησιμοποιώντας τώρα τον χρυσό κανόνα του Fermi μπορούμε να υπολογίσουμε το ρυθμό μετάπτωσης για τη σκέδαση Stokes που είναι,όπως γράψαμε πριν,η μετάβαση $|n_I\rangle\otimes|n_F\rangle\otimes |n_{\nu}\rangle\rightarrow |n_I-1\rangle\otimes|n_F+1\rangle\otimes |n_{\nu}+1\rangle$

Έχουμε λοιπόν:

$\displaystyle\frac{1}{\tau^{(S)}} =\frac{2\pi}{\hbar^2}|\langle f|\mathcal{H}_{scat}|i\rangle|^2\delta(\omega_i-\omega_f)$

$\displaystyle=\frac{2\pi}{\hbar^2}\big (\frac{2\pi\hbar}{V}\big )^2 \frac{\hbar}{2 M\omega_{\nu}}(\omega_I\omega_F)|\alpha^{(R)}(I,F,\nu)|^2$
$\displaystyle\times |\lange n_I-1,n_F+1,n_{\nu}+1|a^{\dagger}_{F}a_I b^{\dagger}_{\nu}|n_I,n_F,n_{\nu}\rangle|^2\delta(\omega_I-\omega_F-\omega_{\nu})$

Τελικά

$\displaystyle\frac{1}{\tau^{(S)}}=\frac{8 \pi^3}{V^2}\frac{\hbar}{2 M\omega_{\nu}}(\omega_I\omega_F)|\alpha^{(R)}(I,F,\nu)|^2 n_I(n_F+1)(n_{\nu}+1)$
$\times\delta(\omega_I-\omega_F-\omega_{\nu})$

και αντίστοιχα για το ρυθμό μετάπτωσης στη σκέδαση anti-Stokes βρίσκουμε:

$\displaystyle\frac{1}{\tau^{(AS)}} =\frac{8 \pi^3}{V^2}\frac{\hbar}{2 M\omega_{\nu}}(\omega_I\omega_F)|\alpha^{(R)}(I,F,\nu)|^2 n_I(n_F+1) n_{\nu}$
$\times\delta(\omega_I+\omega_{\nu}-\omega_F)$

—————

Πίσω

Προσομοιώσεις Φυσικής

Σκέδαση Raman