Συναλλοίωτη έκφραση του Ηλεκτρομαγνητισμού (Μέρος I)

• Πεδιακές εξισώσεις Euler-Lagrange

Στην περίπτωση των πεδίων οι γενικευμένες συντεταγμένες της κλασικής μηχανικής είναι απλά οι χωροχρονικές συνιστώσες του πεδίου που ορίζονται με τρόπο συνεχή σε κάθε σημείο του τριδιάστατου χώρου και γι'αυτό η Λαγκρανζιανή έκφραση των πεδίων είναι το ολοκλήρωμα όγκου ενός συναρτησοειδούς που περιέχει τις χωροχρονικές συνιστώσες του πεδίου και τις χωροχρονικές τους παραγώγους,και ονομάζεται Λαγκρανζιανή πυκνότητα:



Η Δράση του προβλήματος τώρα είναι το χρονικό ολοκλήρωμα αυτής της Λαγκρανζιανής,και χρησιμοποιώντας τον ενιαίο συμβολισμό για την ολοκλήρωση στον τετραδιάστατο χωρόχρονο έχουμε:



Ένας πρακτικός τρόπος να οδηγηθούμε στις εξισώσεις Euler-Lagrange στην περίπτωση των πεδίων είναι με μια παραλλαγή της συνήθους μεθόδου του λογισμού των μεταβολών όπου εξετάζουμε την μεταβολή της Λαγκρανζιανής στο πεδίο μιας μονοπαραμετρικής οικογένειας γύρω από τις συναρτήσεις που οδηγούν σε στάσιμη τιμή το ολοκλήρωμα δηλαδή έχουμε τη μεταβολή όπου συναρτήσεις σε μηδενικές συνοριακές συνθήκες.Η συνθήκη για στάσιμη τιμή του ολοκληρώματος ουσιαστικά συνίσταται στην προσέγγιση πρώτης τάξης κατά Taylor της γύρω από τις .Αν λοιπόν θεωρήσουμε μια γενικότερη κλάση μεταβολών γύρω από την που οδηγεί σε στάσιμη τιμή το ,όπου είναι μεταβολή της που όμως εξ'ορισμού μηδενίζεται στο σύνορο,τότε η συνθήκη για ακρότατη τιμή του μπορεί να βρεθεί από το ανάπτυγμα Taylor του γύρω από το :





και μπορούμε να γράψουμε:



και αντίστοιχα η μεταβολή του ολοκληρώματος είναι:



και η συνθήκη για στάσιμη τιμή του είναι ισοδύναμη με την απαίτηση .Αναπτύσσοντας λοιπόν αυτήν την έκφραση έχουμε:





για κάθε μεταβολή και το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού των μεταβολών εγγυάται πως:



που ειναι ακριβώς η πεδιακή έκφραση των εξισώσεων Euler-Lagrange της αναλυτικής μηχανικής.Εντελώς ανάλογα με την αναλυτική μηχανική μπορούμε κι εδώ να ορίσουμε τις γενικευμένες ορμές:



Kαι να πάρουμε την αντίστοιχη χαμιλτονιανή πυκνότητα με ένα μετασχηματισμό Legendre:

• Λαγκρανζιανή πυκνότητα του Ηλεκτρομαγνητικού πεδίου

Θα δείξουμε τώρα πως η Λαγκρανζιανή πυκνότητα που οδηγεί,στο χωρόχρονο Minkowski,στις εξισώσεις Maxwell είναι η εξής:



όπου οι συναλλοίωτες συνιστώσες του ηλεκτρομαγνητικού τανυστή:



και οι συναλλοίωτες συνιστώσες του τετραδιανύσματος του διανυσματικού δυναμικού με το βαθμωτό δυναμικό και οι συνιστώσες του διανυσματικού δυναμικού .
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τελεστή ως διαφορικό τελεστή καθώς δρώντας στην οδηγούμαστε στο διαφορικό πρώτης τάξης της ως συνάρτηση των μεταβλητών και ως:



Έτσι δρώντας με το στην Λαγκρανζιανή του Ηλεκτρομαγνητικού πεδίου έχουμε:





καθώς ο δεν αναφέρεται στον μετρικό τανυστή αλλά στα πεδιακά μεγέθη των οποίων τη μεταβολή εξετάζουμε,έτσι μπορούμε να ανεβοκατεβάζουμε άμεσα τους δείκτες.Ο τώρα είναι:



κάνοντας στον δεύτερο όρο εναλλαγή των δεικτών και λαμβάνοντας υπόψιν την αντισυμμετρικότητα του .Έτσι:



απο όπου προκύπτουν αβίαστα οι μερικές παράγωγοι της Λαγκρανζιανής πυκνότητας:



και



συνεπώς οι εξισώσεις Euler-Lagrange για το Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο είναι:



Θα δείξουμε στο δεύτερο μέρος πως αυτή η εξίσωση είναι η συναλλοίωτη γραφή δύο εκ των τεσσάρων εξισώσεων του Maxwell.Οι άλλες δυο προκύπτουν από μια ταυτότητα ουσιαστικά,που ικανοποιεί ο λεγόμενος δυϊκός ηλεκτρομαγνητικός τανυστής που ορίζεται ως:



όπου ο τετραδιάστατος πλήρως αντισυμμετρικός ψευδοτανυστής Levi-Civita.Η ταυτότητα που ικανοποιεί ο είναι:



διότι έχουμε το γινόμενο του πλήρως αντισυμμετρικού τανυστή με την συμμετρική έκφραση .Συνεπώς έχουμε



και θα δειξουμε πως αυτή η εξίσωση είναι η συναλλοίωτη γραφή των άλλων δύο εξισώσεων Maxwell του Ηλεκτρομαγνητισμού.