Προσομοιώσεις Φυσικής

Συναλλοίωτη έκφραση του Ηλεκτρομαγνητισμού (Μέρος II)

2014-02-04 21:39
  • Εξαγωγή των εξισώσεων Maxwell

Θα δούμε τώρα πως οι δύο εξισώσεις που βρήκαμε προηγουμένως:

\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=J^{\mu}
\partial_{\rho}\widetilde{F}^{\rho\sigma}=0

είναι στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο οι γνωστές εξισώσεις του Maxwell της κλασικής Ηλεκτροδυναμικής.

Καταρχάς είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τον φορμαλισμό στον οποίο θα εργαστούμε:Όσον αφορά στα τετραδιανύσματα τα οποία θα χρησιμοποιήσουμε, οι δείκτες με ελληνικούς χαρακτήρες θα λαμβάνουν τιμές 0,1,2,3 (τη χρονική και τις τρεις χωρικές συνιστώσες) ενώ με λατινικούς δείκτες θα λαμβάνουν τιμές 1,2,3 (δηλαδή τις χωρικές συνιστώσες).Επίσης όσον αφορά στα συναλλοίωτα και ανταλλοίωτα τετραδιανύσματα θα είναι:A_\nu=(A_0,-\mathbf{A}) και A^\nu=(A_0,\mathbf{A}) και για τον τελεστή της διαφόρισης: \partial_\mu\equiv\frac{\partial}{\partial_\mu}=(\partial_t,\nabla) και \partial^\mu\equiv\frac{\partial}{\partial^\mu}=(\partial_t,-\nabla)


Ξεκινούμε από την πρώτη εξίσωση,για ελεύθερο δείκτη \nu=0 αναπτύσσοντας το δείκτη \mu στο χωρικό και χρονικό του μέρος.Έχουμε τότε:

\partial_{\mu}F^{\mu 0}=J^{0}\equiv\rho\Rightarrow
\partial_{\mu}F^{\mu 0}=\partial_{\mu}(\partial^{\mu}A^0-\partial^0 A^{\mu})=
=\partial_0\partial^0 A^0-\partial_0\partial^0A^0-\partial_m^mA^0-\partial_m\partial^0A^m=
=\nabla(-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t})=\nabla\mathbf{E}\Rightarrow\nabla\mathbf{E}=\rho

που είναι η γνώριμη διαφορική μορφή του νόμου του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο.

Παρομοίως για ελεύθερο δείκτη \nu=n αναπτύσσοντας ξανά το δείκτη \mu στο χωρικό και χρονικό του μέρος:

\partial_{\mu}F^{\mu n}=J^{n}\equiv j^n\Rightarrow

\partial_{\mu}F^{\mu n}=\partial_0(\partial^{\mu}A^n+\partial^n A^{\mu})=
=\partial_0\partial^0A^n-\partial_m\partial^mA^n+\partial_0\partial^n A^0+\partial_m\partial^nA^m=
=\frac{\partial^2 A^n}{\partial t}-\nabla^2 A^n+\nabla\frac{\partial\phi}{\partial t}_n+[\nabla(\nabla\mathbf{A})]_n =
=-\frac{\partial E^n}{\partial t}+(\nabla\times \mathbf{B})^n

όπου στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιήσαμε τη διανυσματική ταυτότητα \nabla\times\nabla\times \mathbf{A}=\nabla(\nabla\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A} και το ότι \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.Έτσι καταλήγουμε στην έκφραση:

(\nabla\times \mathbf{B})^n=j^n+\frac{\partial E^n}{\partial t}\Rightarrow \nabla\times \mathbf{B}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

που είναι η εξίσωση Ampere-Maxwell.

Όσον αφορά στις άλλες δύο εξισώσεις,αυτές θα προκύψουν από την \partial_{\rho}\widetilde{F}^{\rho\sigma}=0 :
Για \sigma=0 έχουμε:

\partial_{\rho}\widetilde{F}^{\rho 0}=0\Rightarrow
\partial_{\rho}\widetilde{F}^{\rho 0}=\frac{1}{2}\epsilon^{\rho\sigma\mu\nu}\partial_{\rho}F_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\epsilon^{r 0 m n}\partial_{r}F_{mn}=
=\frac{1}{2}\epsilon^{0mnr}\partial_r\epsilon_{mnk}B_k=\frac{1}{2}\delta_k^r\partial_rB_k=
=\frac{1}{2}\nabla\mathbf{B}\Rightarrow \nabla\mathbf{B}=0

που είναι ο νόμος του Gauss για τη μαγνητική επαγωγή.
Τέλος για \sigma=s

\partial_{\rho}\widetilde{F}^{\rho s}=\frac{1}{2}\epsilon^{\rho\sigma\mu\nu}\partial_{\rho}F_{\mu\nu}=
=\frac{1}{2}[\epsilon^{0smn}\partial_0 F_{mn}+\epsilon^{rsm0}\partial_r F_{m0}+\epsilon^{rson}\partial_r F_{0n}]=

Ένας παράγοντας 2 θα προκύψει από το πρώτο άθροισμα εντός παρενθέσεως ως γινόμενο δυο αντισυμμετρικών τανυστών και από τους δύο τελευταίους όρους που είναι ίδιοι διότι με ταυτόχρονη εναλλαγή των δύο τελευταίων δεικτών των αντισυμμετρικών τανυστών π.χ. του τελευταίου όρου προκύπτει ο πρότελευταίος και αντίστροφα.Έτσι έχουμε:

\partial_{\rho}\widetilde{F}^{\rho s}=\epsilon^{smn}\partial_0 F_{mn}+\epsilon^{rsm}\partial_r F_{m0}=
=\partial_0\epsilon^{smn}\epsilon_{mnk}B_k-\epsilon^{rsm}\partial_r E_m=

\frac{\partial B^s}{\partial t}+\epsilon^{srm}\partial_r E_m=\frac{\partial B^s}{\partial t}+(\nabla\times\mathbf{E})^s=0\Rightarrow \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}

που είναι ο νόμος της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής του Faraday

—————

Πίσω