Προσομοιώσεις Φυσικής

Το πείραμα της διπλής σχισμής

2014-01-10 08:35
Ένα από τα κλασικά θεωρητικά πειράματα στην Κβαντομηχανική είναι το πείραμα της διπλής σχισμής,όπου τα ηλεκτρόνια φαίνεται ότι έχουν κυματική συμπεριφορά,δημιουργούν δηλαδή κροσσούς συμβολής πάνω στο πέτασμα,πίσω από τη σχισμή.Αν όμως μπορούμε και παρακολουθούμε από ποιά εκ των δύο σχισμών περνούν τότε δεν υπάρχουν πιά κροσσοί συμβολής και η εικόνα στο πέτασμα θυμίζει την κατανομή σφαιρών που εκτοξεύονται προς το πέτασμα,δηλαδή τα ηλεκτρόνια εμφανίζουν σωματιδιακή συμπεριφορά.Η εικόνα στο πέτασμα τότε είναι απλά δύο μέγιστα πίσω από την κάθε σχισμή:



Το περίεργο που θέλει να εξάρει το πείραμα αυτό της διπλής σχισμής είναι πως τα ηλεκτρόνια μπορούν και εμφανίζουν κυματική συμπεριφορά ενώ θα περίμενε κανείς,ως ελάχιστα σωματίδια ύλης,να έχουν μόνο την κατανομή του σχήματος 1,μετά από ένα τέτοιο πείραμα.Ενώ αυτά,όταν δεν γνωρίζουμε από ποιά σχισμή πέρασε ποιο,εμφανίζουν την εικόνα του σχήματος 2 ενώ όταν τα παρακολουθούμε με κάποιο τρόπο,γνωρίζουμε δηλαδή από ποιά σχισμή πέρασε ποιό,εμφανίζουν την εικόνα 1.
Δείτε ένα καταπληκτικό βίντεο με ελληνικούς υποτίτλους που παρουσιάζει,με μορφή cartoon,το πείραμα αυτό με πολύ ωραίο τρόπο.
Μολονότι έχω δει αυτό το βίντεο άπειρες φορές,πάντα στο 2:17,στο σημείο που ο επιστήμονας εκτοξεύει τα ηλεκτρόνια και ενώ περιμένει σωματιδιακή εικόνα ,αναφωνεί έκπληκτος "What?An interference pattern!" πάντα,μα πάντα όμως,ανατριχιάζω!Είναι πραγματικά καταπληκτικό βιντεάκι.


Θέλω εδώ να παρουσιάσω ένα καταπληκτικό παράδειγμα του πως γίνεται το φαινόμενο αυτό αντιληπτό μέσα από τον φορμαλισμό της Κβαντομηχανικής.Μολονότι ο Σ.Τραχανάς δεν σχολιάζει καθόλου το πείραμα της διπλής σχισμής,το παρακάτω παράδειγμα το βρήκα ακροθιγώς στην εισαγωγή της Κβαντομηχανικής του Κ.Ταμβάκη και αναλυτικά στον 3ο τόμο των Διαλέξεων Φυσικής του Feynman.
Ο φορμαλισμός που χρησιμοποιεί ο Feynman είναι διαφορετικός από αυτόν που χρησιμοποιούμε εμείς στην προπτυχιακή Κβαντομηχανική,αλλά εξαιρετικά χρήσιμος σε αυτό το παράδειγμα.Είναι ένας φορμαλισμός πλατών,τον οποίο παρουσιάζει στο 3ο τόμο των διαλέξεων του,ακριβώς πάνω σε αυτό το πείραμα της διπλής σχισμής.

Παράθεση:
Περιγραφή του φορμαλισμού του Feynman

Σε αυτόν τον φορμαλισμό,το πλάτος A ενός φαινομένου υπολογίζεται ως εξής:
1)Αν το φαινόμενο μπορεί να συμβεί μόνο με ένα φυσικό τρόπο,βλέπουμε πρώτα πόσες εναλλακτικές δυνατότητες (φυσικά ισοδύναμες) υπάρχουν για να συμβεί το φαινόμενο,και στη συνέχεια υπολογίζουμε το πλάτος για κάθε μια από αυτές (A_1,A_2,\ldots A_n).Το συνολικό πλάτος είναι τότε το άθροισμα των πλατών A=A_1+A_2+\ldots A_n,και η πιθανότητα του φαινομένου είναι P=|A_1+A_2+\ldots A_n|^2
2)Αν όμως εξετάζουμε ένα φαινόμενο,που μπορεί να συμβεί με πολλούς διαφορετικούς φυσικούς τρόπους,τότε δεν μπορούμε να μιλάμε για συνολικό πλάτος.Εδώ εξετάζουμε κάθε έναν από τους διαφορετικούς φυσικούς τρόπους,βλέπουμε πόσες (φυσικά ισοδύναμες) εναλλακτικές έχει ο κάθε φυσικός τρόπος,υπολογίζουμε το πλάτος για κάθε μια από αυτές (A_{a1},A_{a2},\ldots A_{a n}) και το συνολικό πλάτος του φυσικού τρόπου A_a είναι όπως και στο 1 το άθροισμα των εναλλακτικών A_a=A_{a1}+A_{a2}+\ldots A_{an} που τον συναποτελούν.Και το κάνουμε αυτό για όλους τους φυσικά ισοδύναμους τρόπους με τους οποίους μπορεί να γίνει το φαινόμενο (ας πούμε (A_a,A_b,\ldots A_k).Αλλά εδώ τώρα ΔΕΝ μπορούμε να μιλάμε για συνολικό πλάτος του φαινομένου ως το άθροισμα αυτών των (A_a,A_b,\ldots A_k),γιατί αντιστοιχούν σε διαφορετικούς φυσικούς τρόπους και όχι φυσικά ισοδύναμες εναλλακτικές.Το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι πως η συνολική πιθανότητα του φαινομένου είναι: P=|A_a|^2+|A_b|^2+\ldots+|A_k|^2=P_a+P_b+\ldots+P_k είναι δηλαδή το άθροισμα των πιθανοτήτων (και όχι των πλατών) των διαφορετικών φυσικών τρόπων του συνολικού φαινομένου ο καθένας από τους οποίους αποτελείται από φυσικώς ισοδύναμες εναλλακτικές.


Μη με βρίσετε,το ξέρω πως ο φορμαλισμός αυτός,αν δεν τον ξέρετε,σας φαίνεται ακατανόητος τώρα που τον περιγράφω θεωρητικά αλλά στη συνέχεια που θα τον εφαρμόσω το πείραμα της διπλής σχισμής θα καταλάβετε πολύ καλά τί είναι αυτες οι φυσικά ισοδύναμες εναλλακτικές και τί οι διαφορετικοί φυσικοί τρόποι.Και μάλιστα θα το συσχετίσετε εύκολα και με το φορμαλισμοό που συνήθως χρησιμοποιούμε εμείς.

Δείτε λίγο το παρακάτω σχήμα:



Το πλάτος πιθανότητας το σωματίδιο να ξεκινήσει από την πηγή S ,να περάσει από την οπή A και να καταλήξει στη θέση x πάνω στο πέτασμα,γράφεται:

\displaystyle A_1=\langle x|A\rangle\langle A|S\rangle

δηλαδή με σειρά αντίστροφη απο την πορεία που ακολουθεί το σωματίδιο.

Έτσι το πλάτος πιθανότητας να ξεκινήσει από την πηγή S,να περάσει από την οπή B και να καταλήξει στη θέση x πάνω στο πέτασμα,είναι:

\displaystyle A_2=\langle x|B\rangle\langle B|S\rangle

Συνεπώς το πλάτος πιθανότητας του φαινομένου "το σωματίδιο από την πηγή S στή θέση x" αποτελείται από δύο φυσικά ισοδύναμες εναλλακτικές και είναι το άθροισμα των πλατών τών δύο εναλλακτικών:

\displaystyle A=A_1+A_2

Συνεπώς η πιθανότητα για αυτό είναι:

\displaystyle P_{S\rightarrow x}=|A_1+A_2|^2=P_1+P_2+2 \Re[A_1^{*}A_2 ]

όπου το P_1=A_1^{*}A_1 και P_2=A_2^{*}A_2.Εδώ,ο όρος \Re[A_1^{*}A_2] είναι ο όρος συμβολής,κάτι δηλαδή που ταλαντεύεται σαν συνημίτονο,π.χ του τύπου Cos(a x)Sin(b x) όπου a<<b δηλαδή Cos(a x) ένα αργά μεταβαλλόμενο πλάτος.Έχουμε δηλαδή πράγματι μια κυματοειδή συμπεριφορά του σωματιδίου.Δηλαδή το σχήμα 2.

Δείτε όμως τι συμβαίνει με τον φορμαλισμό αυτόν,αν βάλουμε ένα σύστημα παρακολούθησης του από ποιά σχισμή πέρασε το σωματίδιο.Αυτό το σύστημα θα μπορούσε να είναι μια πηγή φωτονίων κοντά σε κάθε σχισμή.Έτσι η πιθανότητα σκέδασης του φωτονίου πάνω στο σωματίδιο που θα περάσει από την αντίστοιχη σχισμή είναι μεγάλη.Προσοχή όμως.Υπάρχει και μια αντίστοιχη πιθανότητα (μικρότερη βέβαια αλλά υπαρκτή) να σκεδαστεί το σωματίδιο από μια σχισμή,πάνω σε ένα φωτόνιο που αντιστοιχεί στην άλλη πηγή.Να το κρίσιμο σημείο!Αν το μήκος κύματος των φωτονίων των πηγών είναι της τάξεως μεγέθους της γεωμετρίας της σχισμής τότε λ.χ. η πιθανότητα "φως" από την πηγή A να αντιστοιχεί σε σωμάτιο που περνά από την αντίστοιχη σχισμή A είναι σαφως μεγαλύτερο από την πιθανότητα το σωματίδιο να προέρχεται από την άλλη σχισμή B και να το θεωρήσουμε από την σχισμή A.Για δείτε με αυτόν τον φορμαλισμό των πλατών τι συμβαίνει:

Το φαινόμενο "σωματίδιο από την πηγή S στην θέση x" παύει να αποτελεί άθροισμα φυσικά ισοδύναμων εναλλακτικών.
Διότι υπάρχουν δύο διακριτές φυσικές καταστάσεις μέσα του:

1)σωματίδιο από την πηγή S στην θέση x και φωτόνιο από την πηγή A
2) σωματίδιο από την πηγή S στην θέση x και φωτόνιο από την πηγή B

Αυτά τα δύο είναι διαφορετικά γιατί έχουμε φωτόνια από διαφορετικές πηγές.Τα αντίστοιχα πλάτη ΔΕΝ αθροίζονται αλλά υπολογίζονται τα τετράγωνα και μετά οι πιθανότητες αθροίζονται για να υπολογίσουμε την πιθανότητα του συνολικού φαινομένου "σωματίδιο από την πηγή S στην θέση x" που αποτελείται από τις διακριτές καταστάσεις 1) και 2).Τώρα για κάθε ένα από τα 1) και 2) έχουμε τις δύο φυσικά ισοδύναμες εναλλακτικές για πέρασμα από τις δύο σχισμές.(φυσικά ισοδύναμες γιατί το φωτόνιο είναι από την ίδια πηγη σε κάθε ένα από τα δύο)

1)σωματίδιο από την πηγή S στην θέση x και φωτόνιο από την πηγή A
α)σωματίδιο από την πηγή S μέσω της οπής A στη θέση x
b)σωματίδιο από την πηγή S μέσω της οπής B στη θέση x

2)σωματίδιο από την πηγή S στην θέση x και φωτόνιο από την πηγή B
α)σωματίδιο από την πηγή S μέσω της οπής A στη θέση x
b)σωματίδιο από την πηγή S μέσω της οπής B στη θέση x

Για την 1η περίπτωση το πλάτος είναι το άθροισμα των πλατών των a) και b) δηλαδή:

\displaystyle A_a=\langle x|A\rangle g_{aa}\langle A|S\rangle+\langle x|B\rangle g_{ab} \langle B|S\rangle =g_{aa} A_1+g_{ab} A_2

όπου g_{aa} και g_{ab} το πλάτος πιθανότητας να έχουμε φωτόνιο από την οπή A που αντιστοιχεί (σκεδάστηκε μαζί του) σε σωμάτιδιο που πέρασε από την οπή A και g_{ab} φωτόνιο από την οπή A που αντιστοιχεί (σκεδάστηκε μαζί του) σε σωματίδιο που πέρασε από την οπή B.

Για την 2η περίπτωση το πλάτος είναι πάλι το άθροισμα των πλάτων των αντίστοιχων a) και b) δηλαδή:

\displaystyle A_a=\langle x|B\rangle g_{bb}\langle B|S\rangle+\langle x|A\rangle g_{ba} \langle A|S\rangle=g_{bb} A_2+g_{ba} A_1

όπου g_{bb} και g_{ba} το πλάτος πιθανότητας να έχουμε φωτόνιο από την οπή B που αντιστοιχεί (σκεδάστηκε μαζί του) σε σωμάτιδιο που πέρασε από την οπή B και g_{ba} φωτόνιο από την οπή B που αντιστοιχεί (σκεδάστηκε μαζί του) σε σωματίδιο που πέρασε από την οπή A.

Όμως εδώ,όπως είπαμε,το συνολικό φαινόμενο "σωματίδιο από την πηγή S στην θέση x" δεν έχει πλάτος το άθροισμα των πλατών των 1) και 2).Γιατι δεν είναι δύο εναλλακτικές φυσικά ισοδύναμες καταστάσεις,αλλά είναι δυο διαφορετικές φυσικές καταστάσεις.Μπορούμε να μιλάμε μόνο για την πιθανότητα του φαινομένου αυτού,που είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των δύο εναλλακτικών φαινομένων ,P_a=|A_a|^2 και P_b=|A_b|^2 δηλαδή:

\displaystyle P_{S\rightarrow x}=P_a+P_b=|A_a|^2+|A_b|^2=

\displaystyle =(g^2_{aa}+g^2_{ba})|A_1|^2+(g^2_{bb}+g^2_{ab})|A_2|^2
\displaystyle+2 \Re[g_{aa}^{*}A_1^{*}g_{ab}A_2]+2 \Re[g_{ba}^{*}A_1^{*}g_{bb}A_2]=

\displaystyle =(g^2_{aa}+g^2_{ba})P_1+(g^2_{bb}+g^2_{ab})P_2+
\displaystyle 2 \Re[g_{aa}^{*}A_1^{*}g_{ab}A_2]+2 \Re[g_{ba}^{*}A_1^{*}g_{bb}A_2]

ας πούμε τώρα ότι το πλάτος πιθανότητας,φωτόνιο από την οπή A να αντιστοιχεί σε σωματίδιο από την οπή A (δηλαδή αυτό το g_{aa}) είναι ίσο με το πλάτος πιθανότητας φωτόνιο από την οπή B να αντιστοιχεί σε σωματίδιο από την οπή B (δηλαδή αυτό το g_{bb}) .Και το ίδιο για τα cross terms γεγονότα,δηλαδή το πλάτος πιθανότητας,φωτόνιο από την οπή A να αντιστοιχεί σε σωματίδιο από την οπή B (δηλαδή αυτό το g_{ab}) να είναι ίσο με το πλάτος πιθανότητας,φωτόνιο από την οπή B να αντιστοιχεί σε σωματίδιο από την οπή A (δηλαδή αυτό το g_{ba}) .Δηλαδή g_{aa}=g_{bb}=g και g_{ab}=g_{ba}=g^{\prime}

Έτσι η πιθανότητα P_{S\rightarrow x} ξαναγράφεται:

\displaystyle P_{S\rightarrow x}=(g^2+{g^{\prime}}^2)P_1+(g^2+{g^{\prime}}^2)P_2+2 \Re[g^{*}A_1^{*}g^{\prime}A_2]+2 \Re[{g^{\prime}}^{*}A_1^{*}gA_2]

και επίσης ας πούμε χάριν απλότητος ότι αυτά τα πλάτη g και g^{\prime} είναι πραγματικά,έτσι:

\displaystyle P_{S\rightarrow x}=(g^2+{g^{\prime}}^2)P_1+(g^2+{g^{\prime}}^2)P_2+4 gg^{\prime} \Re[g^{*}A_1^{*}g^{\prime}A_2]

Αυτό είναι το τελικό αποτέλεσμα.Κοιτάξτε τώρα τι όμορφα που ο Feynman συνδυάζει τη μετάβαση από το σχήμα 1 της σωματιδιακής εικόνας,στο σχήμα 2 της κυματικής συμβολής.

1)Για να είναι τo σύστημα παρακολούθησης,του από ποιά οπή πέρασε το κάθε σωματίδιο,λειτουργικό,θα πρέπει το μήκος κύματος του φωτός των πηγών να είναι της τάξεως μεγέθους της μιας σχισμής,γιατί τότε το φως από την πηγή της κάθε οπής σκεδάζεται μόνο πάνω στο σωματίδιο που περνά από την αντίστοιχη οπή άρα ξέρουμε,από που περνάει τι, και τότε αυτό το g είναι σαφώς μεγαλύτερο του g^{\prime},δηλαδή είμαστε όσο περισσότερο γίνεται βέβαιοι ότι φως απο μια οπή συνεπάγεται πέρασμα σωματιδίου απο την αντίστοιχη οπη και όχι από την άλλη.Να υπάρχει δηλαδή ταύτιση του φωτός από μια οπή με το πέρασμα σωματιδίου από αυτήν την οπή.Στην ιδανική περίπτωση τότε αυτό το g^{\prime} που μπερδεύει τα πράγματα θα πρέπει να είναι 0.Ε τότε όμως ο παραπάνω τύπος γίνεται:

\displaystyle P_{S\rightarrow x}=g^2( P_1+P_2)

δηλαδή το σχήμα 1 όπου δεν υπάρχει συμβολή!
Και απλά η συνολική πιθανότητα είναι το άθροισμα των πιθανότήτων P_1=A_1^{*}A_1 και P_2=A_2^{*}A_2 δηλαδή των κατανομών των σωματιδίων που περνούν απο την μια οπή με κλειστή την άλλη.Δηλαδή εδώ η παρακολούθηση κάνει τα σωματίδια να αποκτούν σωματιδιακή συμπεριφορά.Τι είναι αυτό που επιδρά πάνω τους;Μα φυσικά η ενέργεια των φωτονίων.


2)Αν θέλουμε να μειώσουμε την επίδραση που έχει η παρακολούθηση πάνω τους αναγκαστικά θα πρέπει να μειώσουμε την ενέργεια των φωτονίων της πηγής ,του συστήματος παρακολούθησης.Ο μόνος τρόπος να γίνει αυτό είναι να μειώσουμε τη συχνότητα της πηγής αφού E_{\phi}=h \nu.Τότε όμως αυξάνει το μήκος κύματος,άρα και η πιθανότητα φως απο την πηγή της μιας οπή να σκεδαστεί σε σωματίδιο που περνά από την άλλα οπή,δηλαδή αυξάνει αυτό το g^{\prime} και οπωσδήποτε δεν μπορεί πια να θεωρηθεί μηδενικό.Ε τότε όμως στην πιθανότητα P_{S\rightarrow x} θα υπάρχει και ο όρος 4 gg^{\prime} \Re[g^{*}A_1^{*}g^{\prime}A_2]:

\displaystyle P_{S\rightarrow x}=(g^2+{g^{\prime}}^2)P_1+(g^2+{g^{\prime}}^2)P_2+4 gg^{\prime} \Re[g^{*}A_1^{*}g^{\prime}A_2]


που είναι η σχέση που δίνει σχήμα παρόμοιο με το σχημα 2 αφού υπάρχει ο όρος συμβολής,που μας οδηγεί στο σχήμα 2!.

Βλέπετε λοιπόν πως οδηγούμαστε από το σχήμα 1 στο σχήμα 2 μέσα από τον φορμαλισμό της Κβαντομηχανικής.Βλέπετε ποιός είναι ο φυσικός μηχανισμός που οδηγεί σε απώλεια της κρίσιμης πληροφορίας "από ποιά σχισμή περνά το κάθε σωμάτιο".Η παρακολούθηση των σωματιδίων συνιστά υψηλή επίδραση πάνω τους ώστε να αποκτησουμε την βεβαιότητα του από που περνάει τι.Μείωση αυτής της επίδρασης,αναπόφευκτα οδηγεί σε απώλεια της κρίσιμης πληροφορίας του από που περνάει τι,δηλαδή σε εισδοχή της αβεβαιότητας και συνακόλουθα σε συμβολή των εναλλακτικών και στο σχήμα 2.
Δηλαδή με απόλυτη βεβαιότητα του από ποιά σχισμή περνάει ποιό σωμάτιο,έχουμε το σχήμα 1 και καθώς μειώνουμε την ενέργεια των φωτονίων (δηλαδη αυξάνουμε το μ.κ.) για να μειώσουμε την επίδραση από την παρατήρηση,αναγακαστικά αυξάνεται το g^{\prime} και βαθμιαία οδηγούμαστε στο σχήμα 2 όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα gif:



*Το σχήμα δεν είναι κανονικοποιημένο.Γιατί κανονικά το εμβαδό θα έπρεπε να παραμένει σταθερό,αλλά βαριομουν να υπολογίσω τα ολοκληρώματα για τις σταθερές,έστω και με Mathematica.Sorry :oops:
Τέλος πάντων δεν έβαλα αριθμούς στους άξονες και μπορείτε να φανταστείτε πως αλλάζει η κλίμακα ώστε το εμβαδόν να παραμένει σταθερό :lol: !

 

—————

Πίσω