Προσομοιώσεις Φυσικής

Όγκος n-διάστατης σφαίρας

2013-04-07 01:25
Κοιτάξτε μια ωραία μέθοδο για να υπολογίσει κανείς το όγκο μιας σφαίρας σε ένα n διάστατο Ευκλείδειο χώρο.Τη βρήκα σε πολλά βιβλία Στατιστικής Μηχανικής γιατί εκεί είναι πολύ χρήσιμη,στον υπολογισμό κάποιων συναρτήσεων επιμερισμού.Θα παρουσιάσω αργότερα ένα τέτοιο θέμα.
Αρχίζει με την διαπίστωση ότι στον \mathbb{R}^n η εξίσωση της σφαίρας είναι:

x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=r^2

όπου r η ακτίνα της σφαίρας.Τότε ο όγκος της θα είναι ανάλογος της n-οστής δύναμης της ακτίνας.,δηλαδή:

V=c_n r^n

όπου c_n η σταθερά αναλογίας που πρέπει να προσδιοριστεί και που εξαρτάται προφανώς από τον δείκτη n δηλαδή από τον αριθμό των διαστάσεων του Ευκλειδείου χώρου.Ο στοιχειώδης όγκος λοιπόν θα είναι:

dV=c_n n r^{n-1}dr

Τώρα χρησιμοποιεί το πολλαπλό βοηθητικό ολοκλήρωμα:

I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)}dx_1 dx_2\cdots dx_n

το οποίο και υπολογίζει με δύο τρόπους και έτσι προσδιορίζει την σταθερά c_n.Στον πρώτο τρόπο χρησιμοποιεί το γεγονός ότι οι μεταβλητές x_1,x_2\cdots,x_n είναι ανεξάρτητες και έτσι επειδή το εκθετικό μπορεί να σπάσει σε ένα γινόμενο n εκθετικών για κάθε μια μεταβλητή ξεχωριστά τότε το πολλαπλό αυτό ολοκλήρωμα είναι ουσιαστικά ένα απλό ολοκλήρωμα στην n-οστή δύναμη.Δηλαδή:


I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)}dx_1 dx_2\cdots dx_n =
(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx)^n=\pi^{\frac{n}{2}}

Αφού είναι γνωστό πως


\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx=\frac{\sqrt{\pi}} {2}

Από την άλλη ο δεύτερος τρόπος είναι μια αλλαγή μεταβλητών στο ολοκλήρωμα και μετάβαση σε σφαιρικές συντεταγμένες αλλά στον n-διάστατο χώρο και ακριβώς επειδή έχουμε ένα ολοκλήρωμα όγκου με ολοκληρωτέα ποσότητα που έχει σφαιρική συμμετρία θα εμφανισθεί μόνο η μεταβλητή r.Έτσι το αρχικό ολοκλήρωμα γίνεται:


I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)}dx_1 dx_2\cdots dx_n=
\displaystyle\int_{V}e^{-r^2}dV=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} c_n n r^{n-1} dr

Τώρα το τελευταίο ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια της συνάρτησης Γάμμα.Αυτή ορίζεται με πολλούς ισοδύναμους τρόπους.Εμάς εδώ μας βολεύει ο εξής ορισμός:


\Gamma(z)=2\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-t^2} t^{2 z-1}dt,\Re{z}>0

και συγκρίνοντας με τη μορφή του ολοκληρώματος που θέλουμε να υπολογίσουμε βλέπουμε ότι για z={n \over 2} είναι:

\displaystyle\int_{V}e^{-r^2}dV=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} c_n n r^{n-1} dr =c_n n {\Gamma({n \over 2}) \over 2}

Εξισώνοντας τώρα τα αποτελέσματα από τους δύο διαφορετικούς τρόπους ολοκλήρωσης που οφείλουν να είναι ίσα αφού πρόκειται για το ίδιο ολοκλήρωμα έχουμε:

\displaystyle c_n n{\Gamma({n\over 2})\over 2}=\pi^{n\over 2}\Rightarrow c_n={2\pi^{n\over 2}\over n\Gamma({n\over 2})}

Επομένως ο όγκος μιας n-διάστατης σφαίρας είναι:

\displaystyle V_n={2\pi^{n\over 2}\over n\Gamma({n\over 2})}r^n

Πράγματι αν λάβουμε υπόψιν μας πως \Gamma({1\over 2})=\sqrt{\pi} και πως από την ταυτότητα των συναρτήσεων Γάμμα \Gamma(z+1)=z \Gamma(z) προκύπτει \Gamma({3 \over 2})=\Gamma({1 \over 2}+1)={1 \over 2}\Gamma({1 \over 2})={\sqrt{\pi} \over 2} για τις τρείς διαστάσεις ο τύπος αυτός θα είναι:

\displaystyle V_3={2\pi^{3\over 2}\over 3\Gamma({3\over 2})}r^3={2\pi^{3\over 2}\over 3{\sqrt{\pi}\over 2}}r^3={4 \over 3} \pi r^3

Που είναι πράγματι ο γνώριμος τύπος του όγκου μιας σφαίρας τριών διαστάσεων.
Δείτε τι συμβαίνει στις δύο διαστάσεις.Αν λάβουμε υπόψιν μας πως \Gamma(1)=1 τότε έχουμε

\displaystyle V_2={2\pi^{2\over 2}\over 2\Gamma({2\over 2})}r^2=\pi r^2

Που είναι ο τύπος του εμβαδού του κύκλου!Δηλαδή η μέθοδος αυτή αντιλαμβάνεται τον κύκλο ως μια σφαίρα στον διδιάστατο χώρο και και το εμβαδόν του ως τον όγκο της.Εκ των υστέρων βέβαια δε σου φαίνεται περίεργο αλλά όταν το βλέπεις πρώτη φορά είναι εντυπωσιακό.Και δείτε τώρα κάτι πιό εντυπωσιακό.Τι λέτε να είναι η σφαίρα σε μια διάσταση;Για n=1 έχουμε:

\displaystyle V_1={2\pi^{1\over 2}\over 1 \Gamma({1\over 2})}r={2\pi^{1\over 2}\over 1 {\sqrt{\pi}}}r=2 r

Είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 2 r που το αντιλαμβάνεται ως μια σφαίρα,στον χώρο μιας διάστασης,ακτίνας r και το μήκος του ως τον όγκο της.

Σε λίγο καιρό θα ξαναγράψω στο forum για να δείξω πως αυτός ο τύπος του όγκου της σφαίρας n διαστάσεων χρησιμέυει στην Στατιστική Μηχανική για τον υπολογισμό συναρτήσεων επιμερισμού.

—————

Πίσω